Определение и простейшие свойства двойного интеграла

.

Доказательство. Пусть S' и s' верхняя и нижняя суммы Дарбу на области (Р) для функции |f (x, y)|, а S и s – верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f (x, y).

Составим разность S'-s' для функции |f (x, y)|:

,

так как .

При λ→0 разность S-s стремится к нулю, так как функция f (x, y) интегрируема на (Р) по условию, а, значит, и S'-s' стремится к нулю при λ→0 подавно.

Так как S'-s' стремится к нулю при λ→0, то функция |f (x, y)| интегрируема на (Р).

При λ→0 в очевидном неравенстве переходим к пределу и получаем формулу свойства.

Теорема о среднем значении

Теорема 1. Если функция интегрируема в замкнутой области (P) и выполняется неравенство , то:

1. Справедливо неравенство , где m, M – наименьшее и наибольшее значения функции в области (P), а P площадь области (P).

2. Существует такая точка с из отрезка , что выполняется:

Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы получается при предельном переходе в двойном неравенстве

2. Пусть некоторая точка с имеет значение .

3. Разделим двойное неравенство пункта 1 на Р. Получим

4. С учетом пункта 2 из того, что следует, что и

.

Теорема 2. Если функция двух переменных непрерывна на замкнутой области (P), то существует такая точка , что будет выполняться:

Доказательство. Так как область (P) замкнута, то по теореме Вейерштрасса существуют наибольшее и наименьшее значения функции в области (P).

Пусть М – наибольшее значение функции , m – наименьшее значение функции в области (P).

Из теоремы 1 следует, что

Тогда по теореме Больцано-Коши непрерывная функция проходит через все промежуточные значения.

Это интересно:

Средства диагностики мотивов учения младших школьников
Для того чтобы сформировать у учащихся стойкую положительную мотивацию, нужно следить за динамикой развития у мотивов учения и самовоспитания с тем, чтобы своевременно корректировать свою педагогическую деятельность, свое индивидуальное воздействие на отдельных учащихся. Для этого необходимо период ...

Учебные модули семинарских занятий по дисциплине "социология"
Учебный модуль семинарского занятия на тему: "Предмет и метод социологии" Номер учебного элемента Учебный материал с указанием заданий Рекомендации по выполнению заданий, оценка УЭ – 0 Цель: в результате выполнения задания данного модуля Вы должны закрепить получить знания о понятие социа ...

Учебные программы. Цели и задачи образовательной области «Технология»
Важнейшей целью системы школьного образования в настоящее время является подготовка учащихся, способных самостоятельно и активно действовать, принимать решения, гибко адаптироваться в изменяющихся условиях постиндустриального общества. Для осуществления технологической подготовки школьников в базис ...