Определение и простейшие свойства двойного интеграла

.

Доказательство. Пусть S' и s' верхняя и нижняя суммы Дарбу на области (Р) для функции |f (x, y)|, а S и s – верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f (x, y).

Составим разность S'-s' для функции |f (x, y)|:

,

так как .

При λ→0 разность S-s стремится к нулю, так как функция f (x, y) интегрируема на (Р) по условию, а, значит, и S'-s' стремится к нулю при λ→0 подавно.

Так как S'-s' стремится к нулю при λ→0, то функция |f (x, y)| интегрируема на (Р).

При λ→0 в очевидном неравенстве переходим к пределу и получаем формулу свойства.

Теорема о среднем значении

Теорема 1. Если функция интегрируема в замкнутой области (P) и выполняется неравенство , то:

1. Справедливо неравенство , где m, M – наименьшее и наибольшее значения функции в области (P), а P площадь области (P).

2. Существует такая точка с из отрезка , что выполняется:

Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы получается при предельном переходе в двойном неравенстве

2. Пусть некоторая точка с имеет значение .

3. Разделим двойное неравенство пункта 1 на Р. Получим

4. С учетом пункта 2 из того, что следует, что и

.

Теорема 2. Если функция двух переменных непрерывна на замкнутой области (P), то существует такая точка , что будет выполняться:

Доказательство. Так как область (P) замкнута, то по теореме Вейерштрасса существуют наибольшее и наименьшее значения функции в области (P).

Пусть М – наибольшее значение функции , m – наименьшее значение функции в области (P).

Из теоремы 1 следует, что

Тогда по теореме Больцано-Коши непрерывная функция проходит через все промежуточные значения.

Это интересно:

Практические аспекты применения зарубежной системы дистанционного обучения blackboard в российском образовательном пространстве
Современный этап развития Российской высшей школы характеризуется очень интенсивным взаимопроникновением методик образования западной школы в Российскую и наоборот. В России активно развиваются крупные университетские центры по образу ведущих центров США и Европы. Для современного этапа характерно ...

Повышения профессионального мастерства
Принято выделять несколько направлений повышения профессионального мастерства. Углубление научных знаний. Это направление порождается недостатками вузовской подготовки. Поэтому повышением квалификации молодых учителей надо заниматься с первых дней их работы в школе. Другая сторона этого вопроса: на ...

Проект "Использование компьютерных презентаций на уроках литературы в 12-м классе" по теме "Поэзия серебряного века"
1. Преамбула. Что-то нужно менять! Доклады и сообщения являются широко распространенными видами “устного народного творчества" учащихся cтарших классов на уроке литературы. Школьники выступают с докладами при изучении обзорных тем, на уроках, посвященных биографии писателя, при анализе художес ...