Определение и простейшие свойства двойного интеграла

.

Доказательство. Пусть S' и s' верхняя и нижняя суммы Дарбу на области (Р) для функции |f (x, y)|, а S и s – верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f (x, y).

Составим разность S'-s' для функции |f (x, y)|:

,

так как .

При λ→0 разность S-s стремится к нулю, так как функция f (x, y) интегрируема на (Р) по условию, а, значит, и S'-s' стремится к нулю при λ→0 подавно.

Так как S'-s' стремится к нулю при λ→0, то функция |f (x, y)| интегрируема на (Р).

При λ→0 в очевидном неравенстве переходим к пределу и получаем формулу свойства.

Теорема о среднем значении

Теорема 1. Если функция интегрируема в замкнутой области (P) и выполняется неравенство , то:

1. Справедливо неравенство , где m, M – наименьшее и наибольшее значения функции в области (P), а P площадь области (P).

2. Существует такая точка с из отрезка , что выполняется:

Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы получается при предельном переходе в двойном неравенстве

2. Пусть некоторая точка с имеет значение .

3. Разделим двойное неравенство пункта 1 на Р. Получим

4. С учетом пункта 2 из того, что следует, что и

.

Теорема 2. Если функция двух переменных непрерывна на замкнутой области (P), то существует такая точка , что будет выполняться:

Доказательство. Так как область (P) замкнута, то по теореме Вейерштрасса существуют наибольшее и наименьшее значения функции в области (P).

Пусть М – наибольшее значение функции , m – наименьшее значение функции в области (P).

Из теоремы 1 следует, что

Тогда по теореме Больцано-Коши непрерывная функция проходит через все промежуточные значения.

Это интересно:

Формирование религиозной парадигмы образования
В религиозном обществе религия заменила прежние смыслы отношений традиционного общества, то есть три константы – рождение, вступление в брак и рождение детей, и последняя, смерть, которые были тесно связаны с образованием. В родовом обществе индивид до социальной полноценности (то есть до осуществл ...

Методы устного изложения и их роль в обучении географии
Словесные (устные) методы различаются по форме изложения содержания. Оно может излагаться в монологической речи учителя (рассказ, объяснение, школьная лекция, разъяснение способов деятельности, приемов работы с каким-либо источником географической информации), в тексте учебника и других книг. Неред ...

Классификация учебных мотивов
Существуют различные варианты классификаций мотивов учения, однако общепризнанным является выделение 2-х основных типов мотивов: широкие социальные мотивы учения и мотивы, непосредственно связанные с содержанием учебной деятельности. К познавательным мотивам относятся такие, как собственное развити ...