Определение и простейшие свойства двойного интеграла

.

Доказательство. Пусть S' и s' верхняя и нижняя суммы Дарбу на области (Р) для функции |f (x, y)|, а S и s – верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f (x, y).

Составим разность S'-s' для функции |f (x, y)|:

,

так как .

При λ→0 разность S-s стремится к нулю, так как функция f (x, y) интегрируема на (Р) по условию, а, значит, и S'-s' стремится к нулю при λ→0 подавно.

Так как S'-s' стремится к нулю при λ→0, то функция |f (x, y)| интегрируема на (Р).

При λ→0 в очевидном неравенстве переходим к пределу и получаем формулу свойства.

Теорема о среднем значении

Теорема 1. Если функция интегрируема в замкнутой области (P) и выполняется неравенство , то:

1. Справедливо неравенство , где m, M – наименьшее и наибольшее значения функции в области (P), а P площадь области (P).

2. Существует такая точка с из отрезка , что выполняется:

Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы получается при предельном переходе в двойном неравенстве

2. Пусть некоторая точка с имеет значение .

3. Разделим двойное неравенство пункта 1 на Р. Получим

4. С учетом пункта 2 из того, что следует, что и

.

Теорема 2. Если функция двух переменных непрерывна на замкнутой области (P), то существует такая точка , что будет выполняться:

Доказательство. Так как область (P) замкнута, то по теореме Вейерштрасса существуют наибольшее и наименьшее значения функции в области (P).

Пусть М – наибольшее значение функции , m – наименьшее значение функции в области (P).

Из теоремы 1 следует, что

Тогда по теореме Больцано-Коши непрерывная функция проходит через все промежуточные значения.

Это интересно:

Сказки как художественные средства на уроках биологии
Особенности организации кишечнополостных. Сказка про то, как гидра всех удивляла. В пруду, в подводном царстве на стебле растения жила – была гидра, и вид у неё был такой необычный, что все вокруг, увидев её, удивлялись и даже пугались. Не было у неё головы, а были щупальца, не было у неё ног, а бы ...

Познавательная активность: понятие и содержание
Познавательная активность – это интерес к учебной деятельности, к приобретению знаний, это отношение обучающегося к процессу приобретения знаний, постоянное стремление к познанию, к новым, более глубоким знаниям. Познавательная активность является одним из самых важных факторов учебного процесса. П ...

Высказывания. Логические операции
Цель: сформировать у учеников понятие о математической логике, логике высказываний. Задачи: – сформировать у учеников понятие о высказываниях, логике высказываний. – развить практические навыки решения задач по данному материалу. – формирование у детей научного мировоззрения. План урока: 1. Орг. ча ...