Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Значение и сущность игры в дошкольном возрасте
Многие исследователи детских игр отмечают силу и подлинность чувств, переживаемых ребенком в игре. Эти чувства богаты и разнообразны. В твор­ческих ролевых играх дети переживают чувства, связанные с выполняемыми ролями: заботу, теплоту, нежность мамы, от­ветственность шофера или доктора и т. д. В к ...

Решение грамматико-орфографических задач
Данный метод способствует развитию мыслительных операций как один из поисковых, проблемных методов: требует умения увидеть проблему, понять ее, поставить цель, составить план решения - алгоритм (или выбрать из числа состоявшихся ранее), выполнить все "шаги" решения, сделать вывод, произве ...

Набор профессий, вакансии. Выбор и отбор. Сознательный личный выбор
В нашей стране существуют многие тысячи профессий. Абстрактно говоря, каждый молодой человек может выбирать свое будущее дело из всего этого необозримого многообразия. Практически, однако, спектр возможных выборов всегда значительно уже. Если бы даже человек имел представление обо всех профессиях, ...