Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Проект "Использование компьютерных презентаций на уроках литературы в 12-м классе" по теме "Поэзия серебряного века"
1. Преамбула. Что-то нужно менять! Доклады и сообщения являются широко распространенными видами “устного народного творчества" учащихся cтарших классов на уроке литературы. Школьники выступают с докладами при изучении обзорных тем, на уроках, посвященных биографии писателя, при анализе художес ...

Технология проектирования методической системы
В российском образовании провозглашен принцип вариативности, который дает возможность педагогическим коллективам учебных заведений выбирать и конструировать педагогический процесс по любой модели, включая авторские. Технология проектирования оптимального для образовательного учреждения варианта мет ...

Характеристика клуба, как социального института досуга
Работа по организации отдыха и развлечений является составной частью общей деятельности клуба и, в конечном счете, направлена на то, чтобы способствовать всестороннему гармоническому развитию личности. Из этой главной цели вытекает ряд конкретных задач. Клубный отдых и развлечения призваны, прежде ...