Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Формы проявления одаренности
Впервые мысль о выделении данного параметра одаренности была четко сформулирована в тексте "Рабочей концепции одаренности". Авторы предлагают рассматривать детскую одаренность еще в одном аспекте - насколько она в данное время проявлена ребенком. Одаренность, проявляющуюся в деятельности ...

Методы и формы организации контроля
Устный опрос требует устного изложения учеником изученного ма­териала, связного повествования о конкретном объекте окружающего мира. Такой опрос может строиться как беседа, рассказ ученика, объяснение, чтение текста, сообщение о наблюдении или опыте. Устный опрос как диалог учителя с одним учащимся ...

Организация логопедической работы по устранению аграмматической дисграфии
Аграмматические дисграфии связаны с недоразвитием грамматического строя речи, морфологических и синтаксических обобщений, и проявляются в аграмматизмах в процессе письма. Аграмматизмы проявляются в искажении морфологической структуры слова, замене префиксов, суффиксов, в изменении падежных окончани ...