Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Основные направления логопедической работы по коррекции аграмматической дисграфии
Методика направлена на преодоление аграмматизмов на письме, которые проявляются в нарушениях морфологических и синтаксических конструкций. Формирование умения согласования различных частей речи в числе Детям предлагается выполнить следующие задания: -Закончить предложения, изменяя множественное чис ...

Специфика использования художественной литературы в нравственном воспитании детей старшего дошкольного возраста
Проанализировав результаты констатирующего этапа эксперимента, мы сформировали цель формирующего этапа эксперимента: проверить влияние художественной литературы на развитие нравственных ценностей детей старшего дошкольного возраста. Задачами формирующего эксперимента явились проверка разработанной ...

Научные концепции обучения с применением мультимедиа в образовании
Современный период развития цивилизованного общества характеризуется процессом информатизации. Это глобальный социальный процесс, при котором сбор, накопление, обработка, хранение, передача и использование информации осуществляется на основе современных средств коммуникации. Внедрение средств совре ...