Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Принципы коррекционно-педагогической работы с учащимися, имеющими ЗПР
Характер и особенности организации процесса обучения школьников с задержкой психического развития определяются рядом общепедагогических принципов. Несмотря на различные подходы ученых к их классификации, предложенная Г. А. Толмачевой последовательность принципов отражает особенности процесса обучен ...

Формирования системы понятий в процессе обучения учащихся основной школы аппаратному обеспечению компьютера на уроках информатики
Учебный предмет, который появился в школе относительно недавно, не только прочно вошел в жизнь учащихся, но и продолжает набирать силу, бурно и быстро развиваться, все более глубоко и широко внедряясь в школьную жизнь. Цель изучения данного предмета в школе менялась в зависимости от социального зак ...

Методика организации государственной аттестации учащихся 9-х классов
Устные экзамены по физической культуре лучше проводить в спортивном зале, который подразделяется на три сектора. В первом секторе располагаются члены аттестационной комиссии, число которых должно быть не менее трех человек. В число экзаменаторов, кроме учителей физической культуры, могут вводиться ...