Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Музыка как средство духовного воспитания школьников-подростков
В рамках общеобразовательной школы одним из средств, способствующих фор­мированию и развитию у учащихся ка­честв духовно-нравственного порядка, является музыкальное искусство, по­скольку оно отражает мир целостно, в единстве истины, добра и красоты, и на­правлено на познание, прежде всего внут­ренн ...

Упражнения, направленные на преодоление аграмматической дисграфии
При устранении аграмматической дисграфии широко используются письменные упражнения: Вставить пропущенные флексии, суффиксы, приставки в предложениях. Дрова рубят топор Сахар кладут в сахар . Поезд .ъехал к станции. Закончить предложения, изменяя слово вода. - Девочка загорает у …. - Мальчик выходит ...

Формирование умения самостоятельно есть и пить
Здесь выделяется два аспекта: во-первых, ребенку нужно научиться справляться с той пищей, которую едят все, и во-вторых, научиться делать это без посторонней помощи. Овладеть этими умениями очень важно, поскольку они помогут ребенку сохранять чувство собственного достоинства, быть независимым и хор ...