Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Из опыта работы учителя Куприенко Елены Владимировны МОУ СОШ п. Шумячи по организации музыкального воспитания
15 сентября я впервые встретилась с учителем Куприенко Еленой Владимировной. В школе она работает пять лет. Хотя стаж у нее небольшой, она учитель первой категории. На внеклассное мероприятие к ней, Елена Владимировна предложила придти мне 1 октября. Это всемирный день музыки. В этот день она запла ...

Духовное и нравственное воспитание человека
Специфическая особенность спорта - обязательность соревнований прямо и наиболее значительно влияет на - духовно, нравственное формирование личности. Как известно, в любом виде спорта соревнования проводятся по жестоким правилам. Действующий регламент обусловливает не только сам ход соревновательной ...

Ярославская Городская Общественная организация «Молодежный совет города Ярославля»
«Молодежный совет города Ярославля» был создан 9 лет назад, в 2001 году, как орган молодежного самоуправления. Но уже в 2006 году он «сменил формат» и стал молодежной общественной организацией. На сегодняшний день это одна из крупнейших организаций города, которая включает 6 первичных организаций в ...