Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Идея вальдорфской школы
Педагогика сотрудничества вырабатывает такие приемы, при которых каждый ученик чувствует себя личностью, ощущает внимание учителя лично к нему. Это проявляется и в том, что никто не оскорбит ребенка подозрением в неспособности, все защищены в своем классе, в своей школе. Первая вальдорфская школа б ...

Методика диагностичного задания цели и объективного контроля формирования опыта специалиста
Операция описания опыта (ОП). Параметр “ Число учебных элементов” (УЭ). При определении качества знаний и умений , степени сформированности опыта личности пользуются понятием степень мастерства в выполнении данной деятельности”. Степень мастерства человека . как основная характеристика результата о ...

Использование карт на уроках истории
В сегодняшней ситуации отсутствия в ряде школ настенных карт полезно прислушаться к рекомендациям старейших методистов В.С. Мурзаева и Д.Н. Никифорова, которые советуют чертить на доске хорошо запоминающийся детьми географический контур с последующим его заполнением. Так, например, Апеннинский полу ...