Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Методы и средства стимулирования познавательной активности младших школьников
Анализируя современные тенденции в использовании активных методов обучения младших школьников с трудностями в обучении на уроках математики, мы отмечаем, что приоритет должен отдаваться методам и средствам, направленным на стимулирование познавательной активности. Важно иметь в виду, что именно в м ...

Нравственные и ценностные компоненты развития личности ребенка
Жизнь человека в контексте традиционной культуры неразрывно связана с различными ритуалами, которые как в своей целостности, так и своими отдельными актами, атрибутами, действиями несут в себе огромное и сложное ценностно-символическое пространство. «Ценно-символическая среда в традиционной культур ...

Положение о проведении государственных экзаменов по предмету «физическая культура» в общеобразовательных школах
Данное положение разработано на основе рекомендаций Министерства образования РФ. Оно является практической рекомендацией школам по организации и проведению государственных экзаменов по предмету «Физическая культура». Сдача выпускниками 9 и 11 классов дифференцированного зачета может засчитываться к ...