Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Если названные области заполняют соответствующие плоскости, то имеем дело с преобразованием одной плоскости в другую.

Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .

Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак .

Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области .

Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области .

Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.

Пусть уравнения кривой будут:

,

причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.

Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :

.

Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая.

Это интересно:

Анкетный опрос, как основной метод количественного исследования, студентов колледжа
Нами был проведен опрос студентов нашего колледжа, для выявления их сознательности. В опросе принимали участие студенты трех групп ГАОУ СПО "Казанский медицинский колледж". Первая группа - 1 курс на основе 9 классов. Вторая группа - 1 курс на основе 11 классов. Третья группа - 2 курс на о ...

Компетентность и профессионализм методиста ДО
Характеризуя трудовую деятельность профессионала, обычно употребляют понятия «компетентность», «профессионализм», «квалификация». При этом каждый может вкладывать в них свой собственный смысл. Компетентность, по мнению некоторых авторов, уже, чем профессионализм, поскольку профессионализм характери ...

Психолого-педагогические особенности учащихся с ЗПР
Изучению психолого-педагогических особенностей детей с задержкой психического развития посвящены труды многих российских педагогов, психологов, дефектологов (Л.С. Выготский, Т.А. Власова, Б.В. Зейгарник, А.Р. Лурия, В.В. Лебединский, К.С. Лебединская, В.И. Лубовский, М.С. Певзнер, Г.Е. Сухарева). В ...