Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Необходимое условие экстремума функции многих переменных
Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области. Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью, что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство: . Если эту окрестность взять настолько малой, чтобы знак равен ...

Учебные модули семинарских занятий по дисциплине "социология"
Учебный модуль семинарского занятия на тему: "Предмет и метод социологии" Номер учебного элемента Учебный материал с указанием заданий Рекомендации по выполнению заданий, оценка УЭ – 0 Цель: в результате выполнения задания данного модуля Вы должны закрепить получить знания о понятие социа ...

Индивид и общность в понимании П. Наторпа
Рассматривая основные законы развития общества, П. Наторп указывал на три, с его точки зрения, основных компонента социальной жизни: - организация труда (уровень развития производительных сил общества); - политико-правовая организация (основные социальные и юридические нормы, определяющие функциони ...