Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Физическая подготовленность и педагогический контроль
Информированность учителя и ученика о физической подготовленности на любом отрезке процесса обучения необходима для управления этим процессом. Ученик призван быть сознательным участником этого процесса. Участие его, помимо выполнения указаний и требований учителя на уроке, состоит еще и в том, что ...

Особенности использования игр в 1 классе
Для младшего школьного возраста учение – новое и непривычное дело. Поэтому при знакомстве со школьной жизнью игра способствует снятию барьера между “внешним миром знания” и психикой ребёнка. Игровое действие позволяет осваивать то, что заранее вызывает у младшего школьника страх неизвестности, пост ...

Методы самовоспитания
К методам самовоспитания относятся: 1) самопознание; 2) самообладание; 3) самостимулирование. Самопознание включает: самонаблюдение, самоанализ, самооценивание, самосравнение. Самообладание опирается на: самоубеждение, самоконтроль, самоприказ, самовнушение, самоподкрепление, самоисповедь, самоприн ...