Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Урок по теме «Полимеры» в 9-х классах
Цель урока: познакомить учащихся со способом получения поливинилхлорида и возможностями его применения, а также обобщить знания учащихся о высокомолекулярных соединениях. Задачи обучения: сформировать понятие полимеры, расширить представление о способах получения, свойствах и способах применения ра ...

Особенности нетрадиционных уроков
Сегодня всё большее внимание уделяется человеку как личности – его сознанию, а также высоко развитому интеллекту и интеллектуальному потенциалу. Соответственно, не вызывает сомнения чрезвычайная важность, острая необходимость такой подготовки подрастающего поколения, при которой среднюю школу оканч ...

Роль семьи в процессе формирования личности детей с нарушениями слуха
Появление в семье ребенка с врожденным пороком развития ставит перед родителями ряд сложных проблем. Впервые узнав о диагнозе своего ребенка и осознав всю тяжесть заболевания, родители испытывают болезненный шок и отчаяние, затем приходит чувство вины перед своим ребенком. Изоляция, чрезмерная опек ...