Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Диалектика систем, процессов и методов воспитания
Диалектика систем воспитания в достаточной мере обнаруживает себя по четырем линиям развития диалектических противоположностей: общественная система воспитания – семейная система воспитания, единая система воспитания – разрозненная система воспитания, система отдельного (сословного) воспитания – си ...

Социально-биологические условия психического развития младших школьников с трудностями в обучении
К категории детей с трудностями в обучении относятся дети, испытывающие в силу различных биологических и социальных причин стойкие затруднения в усвоении образовательных программ при отсутствии выраженных нарушений интеллекта, отклонений в развитии слуха, зрения, речи, двигательной сферы. Дети указ ...

Понятие «мониторинг»
Мониторинг образования - это систематическая и регулярная процедура сбора данных по важным образовательным аспектам на национальном, региональном и местном уровнях. Частью системы мониторинга качества образования являются следующие элементы: 1. Установление стандарта и операционализация: определени ...