Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Развитие художественного потенциала личности учащихся на уроках биологии
Личность характеризуется своеобразной структурой, которая связана с видовым строением деятельности человека, пятью потенциалами личности учащегося: 1. Познавательный потенциал — объем и качество информации, которой располагает личность (знания о внешнем мире, самопознание). 2. Творческий потенциал ...

Факторы интеграции
Для интеграции в обучении и воспитании существуют как благоприятные, так и неблагоприятные факторы. К позитивным факторам следует отнести наличие больших потенциальных возможностей в развитии интеллекта ребёнка, которые в традиционном обучении используются недостаточно. Первый негативный фактор – о ...

Повышение интереса учащихся к математике через домашние задания занимательного характера
При рассмотрении творческих домашних заданий уже упоминалось об их роли в развитии интереса учащихся к предмету "математика". Каждое творческое задание по своей сути является оригинальным, носит занимательный характер. Но задание творческого характера более направлено на создание учащимис ...