Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Основы юридических отношений между родителями и детьми
В семейном праве важное место занимает регламентация отношений между родителями и детьми. Общественные и правовые отношения, возникают между родителями и детьми (например: усыновление, попечительство, опекунство над несо-вершеннолетними детьми), включают в себя широкий круг общественных отношений. ...

Формирование представлений дошкольников о здоровом образе жизни как психолого-педагогическая проблема
Актуальность проблемы здорового образа жизни вызвана возрастанием и изменением характера нагрузок на организм человека в связи с усложнением общественной жизни, увеличением рисков техногенного, экологического, психологического, политического и военного характера, провоцирующих негативные сдвиги в с ...

Принципы диалектической системы воспитания и образования
Основополагающим принципом диалектической системы воспитания и образования Личности является принцип диалектического монизма. Суть этого принципа подробно раскрыта в предшествующей главе и первой части настоящей главы концепции. При практическом применении этого принципа в указанной системе воспита ...