Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Проблемная ситуация и задача
По своей структуре проблемная задача предполагает наличие условия, требования или вопроса, ответ на который возможен в результате ряда интеллектуальных и практических действий. Смысл этих действий – в самостоятельном обнаружении решающим не заданных в условии задачи связей, в проведении преобразова ...

Сущность понятий "гуманизм", "гуманистические отношения"
Гуманизм - это исторически изменяющаяся система воззрений, признающая ценность человека как личности, его право на свободу, счастье, развитие и проявление своих способностей, считающая благо человека критерием оценки социальных институтов, а принципы равенства, справедливости, человечности, желаемо ...

Врожденные пороки гортани и причины их возникновения
Значительную актуальность представляют поражения гортани, так как они связаны с жизненно важной функцией – дыханием, и промедление в оказании помощи может в определенных случаях привести к летальному исходу. Патология гортани в качестве самостоятельной, т.е. нозологической формы наблюдается в широк ...