Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Прямые уравнения, связывающие прямоугольную декартову систему координат с полярной системой координат, имеют вид: .

Обратные уравнения, связывающие полярную систему координат с прямоугольной декартовой системой координат, имеют вид:

.

Замена переменных в двойном интеграле

1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области с кусочно-гладкой границей.

2. Пусть поле осуществляет преобразование области в область , имеет кусочно–гладкую границу.

3. Пусть области и являются ограниченными.

4. Так как и имеют непрерывные границы, то они измеримы, а, следовательно, имеют площадь, т.е. квадратируемы.

5. Пусть поле задано двумя функциями: . Смешанные производные непрерывны в , т.е. на выполняется равенство . При всех указанных условиях справедлива следующая формула:

. (5)

Доказательство. Изобразим области и (рис. 23).

Разобьем область сетью кусочно-гладких кривых на частичные области , , причем каждая область имеет кусочно-гладкую границу.

Преобразование порождает разбиение области на частичные подобласти с помощью конечного числа кусочно–гладких кривых .

Между областями и существует простая связь:

Это интересно:

Методика работы со сказками в детском саду
Сказка – это удивительное по силе психологического воздействия средство работы с внутренним миром человека, мощный инструмент развития. Сказка окружает нас повсюду. Интерес психологов к сказке существует давно. Конкретный язык сказок открывает детям путь наглядно – образного и наглядно – действенно ...

Пути и средства развития логического мышления
Развитие мышления при изучении математики состоит в формировании у учащихся характерных для этого предмета приемов мыслительной деятельности. При этом важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников помимо алгоритмических умений и навыков, фиксированных в стандартных правилах, формулах ...

Организация предметно-развивающей среды
Для развития творческих способностей детей через театрализованные игры необходимо создать предметно-развивающую среду. Исходным требованием к предметной среде стал следующий подход: она должна обеспечивать и условия для творческой деятельности каждого ребенка, и зону ближайшего развития. Проектиров ...