Определение и простейшие свойства двойного интеграла

а) они имеют кусочно–гладкие границы, следовательно, границы непрерывны и области измеримы;

б) частичные области имеют площади, т.е. они квадратируемы и

.

Это равенство будет получено при рассмотрении криволинейного интеграла и доказано. Площадь криволинейного частичного прямоугольника равна площади прямоугольника, умноженной на якобиан.

При исследовании определенного интеграла составляли интегральную сумму. Составим и в данном случае сумму вида

. (6)

Так как точка выбрана произвольно в области , то можно принять, что .

При таком условии правая часть интегральной суммы примет вид:

.

Если меру площади устремить к 0, то в пределе получим двойной интеграл по области :. Переходя к пределу в левой части выражения (6) при , получим двойной интеграл .

Значит, справедливость формулы (5) доказана. Существует предел от левой и правой частей интегральной суммы, так как функция непрерывна по области и непрерывным является каждый из сомножителей и в .

Замечание. Устремление меры площади к 0 приводит к устремлению к 0 наибольшего диаметра частичных областей, т.е. , – наибольший диаметр частичной области и , –наибольший диаметр частичной области .

Результатом выпускной квалификационной работы являются разработанные методические рекомендации к проведению лекционных и практических занятий по теме «Двойной интеграл», конспект фондовых лекций, обучающе-контролирующая программа.

При разработке лекционных и практических занятий соблюдались основные принципы дидактики: принцип наглядности, принцип научности, принцип систематичности и последовательности, принцип доступности, принцип связи теории с практикой.

Разработанные методики были апробированы на втором курсе факультета математики и информатики СГПИ в феврале – марте 2003–2004 учебного года. Также с целью выявления направленности учебной мотивации было проведено анкетирование, результаты которого учитывались при апробации. Результаты апробации показали, что новые образовательные технологии (в данном случае, педагогика сотрудничества и информационные технологии) целесообразно применять на занятиях по математическому анализу.

Это интересно:

Закономерности процесса обучения
Результатом познания процесса обучения является выявление объективно существующих законов и закономерностей процесса обучения. Закономерность – это результат совокупного действия множества законов, поэтому она выражает многие связи и отношения, тогда как закон однозначно отражает определенную связь ...

Технология опыта. Игры, направленные на развитие силы
В играх, способствующих развитию силы, занимающиеся преодолевают собственный вес, вес отягощения, сопротивление противника. В таких играх используются предметы: набивные мячи, гантели, скамейки и т.д. или партнёр по тренировке. Для проведения игр с преодолением собственного веса используются: гимна ...

Организация предметно-развивающей среды
Для развития творческих способностей детей через театрализованные игры необходимо создать предметно-развивающую среду. Исходным требованием к предметной среде стал следующий подход: она должна обеспечивать и условия для творческой деятельности каждого ребенка, и зону ближайшего развития. Проектиров ...