Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Экспериментальное исследование проблемы влияния стилей семейного воспитания на процесс формирования базовых качеств личности детей
С целью исследования стилей семейного воспитания нами были анкетированы родители нормально слышащих детей подготовительной группы ДОУ № 176 ,КАО г. Омска в количестве 15 человек (14 женщин и 1 мужчина) (приложение № 1). А также нами были анкетированы родители слабослышащих детей трех подготовительн ...

Основные направления развития системы образования в Челябинской области
Целью управления системой образования области является развитие и повышение роли образования как ключевого, определяющего фактора устойчивого социально-экономического развития и инвестиционной привлекательности области; сохранение лидирующих позиций Челябинской областной образовательной системы в Р ...

Особенности содержания предмета "Русский язык" в начальной школе
Необходимость глубокого изучения родного языка в школе определяется его основными функциями: язык служит человеку, во-первых, средством оформления и выражения мысли, во-вторых, коммуникативным средством, обслуживающим людей в их общении между собой, и, наконец, в-третьих, средством выражения чувств ...