Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Общеобразовательная школа в системе диверсификации образования
Общеобразовательная школа - учебно-воспитательное учреждение, базовый элемент образовательной системы. В этом качестве школа — предмет ис­следования различных дисциплин. Только в педагогике проблематика школы занимает вполне самостоятельное место. Изученность различных аспектов деятельности школы в ...

Проблема обучения грамматическим навыкам на среднем этапе
Пожалуй, ни один из аспектов обучения языкам не был на протяжении многих лет предметом столь интенсивных обсуждений и дискуссий, как грамматика. Грамматика понималась по-разному, она играла и продолжает играть неодинаковую роль не только при обучении родным или иностранным языкам, но и вообще в сис ...

Классификация занимательного материала по русскому языку
Таким образом, проанализировав литературу, мы составили классификацию занимательного материала и пришли к выводу о том, что он достаточно разнообразен. Его использование на уроках русского языка очень важно. При этом можно применять с каждым разом все новые и новые задания тем самым обогащать речь ...