Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Развитие творческих способностей ребенка средствами цветоведения на уроках изобразительного искусства в начальных классах
Развитие творческих способностей детей на уроках изобразительного искусства является одной из главных задач. Осуществление этой задачи возможно только при использовании на уроке различных методов и приёмов работы с детьми, при помощи которых ребёнка можно не только заинтересовать, но и помочь овлад ...

Задачи детского сада по ознакомлению детей с произведениями и фольклорным жанром
Искусство слова отражает действительность через художест­венные образы, показывает наиболее типичное, осмысливая и обобщая реальные жизненные факты. Это помогает ребенку позна­вать жизнь, формирует его отношение к окружающему. Художе­ственные произведения, раскрывая внутренний мир героев, застав­ля ...

Подготовка мероприятия, его цели
Таким образом можно сформулировать выбранную тему для профилактической беседы среди старших школьников: Знакомство с методами отказа от курения. Молодых курильщиков надо ознакомить с методами отказа от курения, которые они могли бы применять самостоятельно. Эти приёмы могут быть изложены в беседе в ...