Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Классификация театрализованных игр
Существует несколько точек зрения на классификацию игр, составляющих театрально-игровую деятельность. По классификации Л.С. Фурминой - это предметные (действующими лицами являются предметы: игрушки, куклы) и непредметные (дети в образе действующего лица исполняют взятую на себя роль). Классифицируя ...

Учебные программы. Цели и задачи образовательной области «Технология»
Важнейшей целью системы школьного образования в настоящее время является подготовка учащихся, способных самостоятельно и активно действовать, принимать решения, гибко адаптироваться в изменяющихся условиях постиндустриального общества. Для осуществления технологической подготовки школьников в базис ...

Методика формирования межнациональных отношений младших школьников через этнопедагогическую афористику
Нередко сегодня встает вопрос и о межнациональных отношениях уже в среде младших школьников: «других» детей дразнят, с ними не хотят дружить, им устраивают «бойкоты». При этом педагоги далеко не всегда пытаются предотвратить или изменить подобное отношение, а иногда и сами выступают в роли зачинате ...