Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Наречие и слова категории состояния как части речи
Наречие – старое слово. Оно уже было в древнерусском языке и нашло отражение в словаре И. И. Срезневского, где отмечено его значение как части речи. Если попытаться определить этимологию этого слова, то придется выделить корень реч-. Слово же речь в древнерусском имело различные значения, одним из ...

Познавательная активность
Обществу особо необходимы люди, имеющие высокий общеобразовательный и профессиональный уровень подготовки, способные к решению сложных социальных, экономических, политических, научно-технических вопросов. Познавательная активность является социально значимым качеством личности и формируется в деяте ...

Игры, направление на развитие выносливости
В играх выносливость проявляется не в статических, а в динамических условиях роботы, когда чередуются моменты напряжения и расслабления. Эти упражнения, особенно циклического характера, могут вызывать утомление, при этом наблюдается снижение работоспособности. Поэтому такие упражнения следует дават ...