Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Развитие творческих способностей ребенка средствами цветоведения на уроках изобразительного искусства в начальных классах
Развитие творческих способностей детей на уроках изобразительного искусства является одной из главных задач. Осуществление этой задачи возможно только при использовании на уроке различных методов и приёмов работы с детьми, при помощи которых ребёнка можно не только заинтересовать, но и помочь овлад ...

Роль и место способов интеграции в начальной школе
Введение в человеческое сообщество детей с отклонениями в развитии является основной задачей всей системы коррекционной помощи. Социальная интеграция понимается нами как конечная цель специального обучения, направленного на включение индивидуума в жизнь общества. Образовательная же интеграция, явля ...

Экспериментальное изучение развитие творческих способностей младших школьников средствами цветоведения
Изучение развития творческих способностей младших школьников средствами цветоведения проходило в г. Полоцке в УО «Полоцкая государственная средняя школа №12» в 4 классе. В начале учебного года было проведено исследование развития творческих способностей детей. Для этого я использовала методику Лосе ...