Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Технология интерактивного обучения
Интерактивное обучение представляет собой такую организацию учебного процесса, при которой практически все учащиеся оказываются вовлечёнными в процесс познания. Структура урока, проведённого в интерактивном режиме, включает 8 этапов. Остановлюсь на особенностях организации каждого из них. Мотивация ...

Возрастные особенности в проявлении агрессивности детей младшего школьного возраста и способы борьбы с ней
Агрессия детей младшего школьного возраста проявляется в том, что маленький ребенок, находясь в группе сверстников старается стать в этой среде популярным или авторитетным. Этим он удовлетворяет свое желание быть признанным и защищенным, пользоваться вниманием. Коммуникативные навыки в этом возраст ...

Интерактивное оборудование в ДОУ и требования к организации работы с ним
Любого педагога и родителя волнует вполне закономерный вопрос о возможном негативном воздействии компьютерной техники на организм ребенка. Обычно детям дошкольного возраста рекомендуют находиться от 15 до 20 минут, а то и не более 10 минут. Многие дети проводят за компьютером гораздо больше времени ...