Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Виды и группы педагогических конфликтов
Система образования как социальный институт взаимодействует со всеми сферами общественной жизни. Поэтому на макро-уровне противоречия и конфликты в социально-педагогическом процессе возникают между системой образования и обществом. На среднем уровне линии противоречий проходят: • между администраци ...

Специфика работы социального педагога с детьми младшего школьного возраста из неполной семьи
1. Познакомится с формами работ социального педагога с детьми младшего школьного возраста из неполных семей. 2. Рассмотреть методы работы социального педагога с детьми младшего школьного возраста. Деятельность социального педагога в неполной семье включает три основных составляющих социально - педа ...

Проведение уроков-экскурсий по математике для развития познавательного интереса младших школьников на формирующем этапе
Цель формирующего этапа эксперимента – повысить уровень интереса к математике через проведение уроков-экскурсий для развития познавательного интереса младших школьников. На формирующем этапе эксперимента участвовали учащиеся 4 класса. На первых этапах изучения математики в начальной школе особенно ...