Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Дидактическая игра как важное средство умственной активности дошкольников
Основным видом деятельности детей дошкольного возраста является игра, которая начинает формироваться уже в раннем возрасте на основе предметной деятельности. А вместе с ней формируется общение, появляются зачатки труда. Игра – это средство моделирования и воссоздания в специально созданных условиях ...

Категории и функции многодетной семьи
Существуют различные объяснения высокой рождаемости в семьях и связанной с ней многодетности. Одно из них состоит в том, что одна из причин многодетности – национальные традиции и обычаи, влияющие на формирование норм о числе детей в семье. Другое объяснение заключается в отсутствии свободы выбора ...

Особенности развития детей 5-6 лет
Возрастной период от 5 до 7 лет называют периодом "первого вытяжения", когда за один год ребенок может вырасти на 7-10 см. Развитие опорно-двигательной системы ребенка к пяти-шести годам еще не завершено. Эти особенности тренер должен учитывать при проведении гимнастических упражнений, та ...