Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Значит, в области (P) существует точка такая, что .

Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:

.

2.2 Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат .

Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

,

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 17).

Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков

,

.

Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.

Частичный прямоугольник определяется так:

.

Пусть

Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .

Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:

.

Выберем произвольно точку .

Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство

.

Получим: , что равносильно

Это интересно:

Общение со взрослым, как фактор развития познавательной активности детей старшего дошкольного возраста
Со временем внимание дошкольников все более привлекают события, происходящие среди окружающих людей. Человеческие отношения, нормы поведения, качества отдельных людей начинают интересовать ребенка даже больше, чем жизнь животных или явления природы. Что можно, а что нельзя, кто добрый, а кто жадный ...

Теоретические основы формирования математических представлений детей старшего дошкольного возраста
Методика формирования элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста прошла длительный путь своего развития. Предшественником ее как науки было устное народное творчество. Различные считалки, поговорки, пословиц, загадки, сказки и шутки приобщили детей к счету, формировали п ...

Особенности развития младших школьников и их возможности для формирования коллектива
Младший школьный возраст – это этап развития ребёнка, соответствующий периоду обучения в начальной школе. Переход к систематическому обучению в школе меняет весь образ жизни ребёнка: формируется осознание своих общественных обязанностей, становятся разнообразными интересы, усиливается стремление к ...