Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Тренировка мышц глотки и мягкого неба
1. Позевывать с открытым и закрытым ртом. Позевывать с широким открыванием рта, шумным втягиванием воздуха. 2. Произвольно покашливать. Хорошо откашляться с широко открытым ртом, с силой сжимая кулаки. Покашливать с высунутым языком. 3. Имитировать полоскание горла с запрокинутой головой. Полоскать ...

Личностный фактор в системе теоретической педагогики
Среди множества педагогических проблем по степени значимости выделяется одна — проблема объекта и предмета педагогики как науки. В ее решении заложен ответ на вопрос о месте Человека, личностного фактора в системе теоретического знания, направляющего практику воспитания. Понятия "объект" ...

Как физическая культура помогает оценивать себя
Каждый человек - частица коллектива. Совершенно естественно, что как таковой он оценивается обществом, коллективом в первую очередь по тому, насколько полезен, что даёт другим людям, какие социальные функции выполняет. Однако это оценка, особенно применительно к людям молодым, хотя не к ним одним, ...