Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Университетские колледжи
Университетские колледжи различаются по размеру и предлагаемым образовательным программам. Некоторые предлагают только программы обучения до уровня «advanced», другие также предоставляют возможность проведения научных исследований. Как правило, специализация университетских колледжей и профиль обра ...

Достаточное условие экстремума функции двух переменных
1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные). 2. Обозначим за определитель второго порядка экстремум переменная лекционный функция . Теорема Если точка с координатами является стационарной точк ...

Изучение опыта работы учителя начальной школы по использованию форм и методов формирования коллектива младших школьников
Опытно – экспериментальная работа проходила в муниципальном образовательном учреждении №6. г.Петрозаводск. в 1 «Б» классе. В исследовании участвовало 26 учеников. Возрастной состав класса: 2004 – 2005 года рождения Учитель 1 «Б» класса – Наталья Олеговна, стаж работы в школе 8 лет. Цель исследовани ...