Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Технология рейтинговых исследований качества образования с применением нейронных сетей
Основными компонентами процесса оценки качества образования являются[ сбор исходных данных и получение результирующей информации о состоянии системы образования. Ежегодный аналитический доклад «Качество образования в выявим учебном заведении» предполагает получение данных по более чем десяти направ ...

Современный аспект проблемы
В последние годы в российском обществе нарастает тревога за судьбу детей, подростков и молодежи, что выражается в следующих основных характеристиках: 1) быстром снижении образовательного и культурного потенциала молодого поколения; 2) дальнейшей нравственной деградации поколения в целом, выраженной ...

Коммуникативный поход в обучений английскому языку
В своей статье «Формирование навыков техники чтения на английском языке через использование комплексов упражнений коммуникативной направленности на начальной ступени обучения» Клестова И.Л. пишет, что коммуникативное обучение иностранным языкам представляет собой преподавание, организованное на осн ...