Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Преддипломное образование
С 1993 г. всё преддипломное обучение ведётся в форме курсов. Для программ, ведущих к получению диплома, студенты могут совмещать несколько курсов для выработки собственной учебной программы. Все курсы и академические программы должны соответствовать учебному плану, вырабатываемому каждым университе ...

Религиозное образование
Термины “Религиозное образование” и “обучения религии” введены статьей 5 ”Религиозное образование” Федерального закона “О свободе совести и о религиозных объединениях”. Часть 1 статьи 5 указанного Федерального закона устанавливает: “Каждый имеет право на получение религиозного образования по своему ...

Высшее образование в перспективе XXI столетия
Мир вступил в этап истории, одной из главных примет которого являются перемены, но эти перемены коренным образом отличаются от тех, что происходили в прошлом. Приведя к геополитическим и политическим потрясениям последних десятилетий, которые глубоко изменили положение дел на мировой политической а ...