Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Характеристика и классификация общеразвивающих упражнений
Основная характеристика общеразвивающих упражнений (в соответствии с их воздействием на отдельные части тела) проводится по анатомическому признаку: упражнения для рук и плечевого пояса, упражнения для туловища и шеи, упражнения для ног. Упражнения указанных групп могут быть направлены: На развитие ...

Основные элементы современной педагогической системы, моделируемые в программе
Поскольку учебная программа является эскизной информационной моделью определенной педагогической системы, то в ней, в принципе, должны быть отображены такие элементы системы, как цели обучения и воспитания, реализуемые изучением данного учебного предмета, раскрыто содержание предмета, которое напра ...

Работа с родителями
Творчеству детей способствует установившийся контакт педагогов с родителями наших воспитанников. Мы стремимся достичь таких отношений, когда мамы и папы небезучастны к творчеству детей, а становятся активными союзниками и помощниками воспитателя в организации их художественно речевой деятельности. ...