Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Диалектика воспитания как особой формы человеческой деятельности
С целью систематизации изложения согласимся с известной периодизацией истории развития человеческого общества: первобытная община (матриархат, патриархат) – рабовладельческое общество – феодальное общество – индустриальное общество (капитализм, социализм). В первобытной общине не была выделена отде ...

Экологические аспекты изучения темы «полимеры» в курсе химии средней общеобразовательной школы
Экологическое образование и развитие школьников – полноценная область знания, познания самого себя, окружающего мира, которая реально воздействует на формирование мировоззренческой компоненты их развития как личностей. Вашему вниманию представляется урок на тему: «Полимеры», наполненный экологическ ...

Сущность и значение инновационных школ в системе образования
Слово «инновация» – имеет латинское происхождение. В переводе оно означает – обновление, изменение, ввод чего-то нового, введение новизны. Понятие «нововведение» (инновация) определяется и как новшество, и как процесс введения этого новшества в практику. Само понятие «инновация» – впервые появилось ...