Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем
Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .
Но , так что из только что полученных неравенств вытекает
, ч. т.д.
Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:
, где
.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных
Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях
, где
есть колебание
функции
в частичной области
.
Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое
, что лишь только все диаметры частичных областей
станут меньше
, тотчас будет выполняться
или
при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек
в частичных областях
. Но суммы s и S при заданном разбиении области
, являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства
так что
откуда и следует, что
Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства
сразу ясно, что
и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство
Это интересно:
Игры
Любое факультативное занятие мы начинаем с пальчиковой гимнастики или дыхательной гимнастики, проводимых в игровой форме с использованием речитатива. Такое начало занятия помогает дошкольникам сконцентрировать свое внимание, настроиться на тему занятия. Затем начинаем активизировать мышцы языка, гу ...
Организационные формы и системы обучения
Деятельность учащихся по усвоению содержания образования осуществляется в разнообразных формах и системах обучения, характер которых обусловлен различными факторами: целями и задачами обучения; количеством учащихся, охваченных обучением; особенностями отдельных учебных процессов; местом и временем ...
Методические средства, направленные на развитие логического
мышления младших школьников при изучении конкретного смысла действий сложения и
вычитания
В основу методики математического развития ребенка легло требование реализации моделирующей деятельности с математическими понятиями и отношениями. Главным принципом этого требования является преимущественное использование модельного подхода к обучению. Этот принцип позволяет осуществлять математич ...