Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Особенности изучения многозначных слов в начальной школе
В русском языке, как и в других языках, есть слова, которые имеют в своей семантической структуре не одно, а несколько (два и более) лексических значений. Это многозначные слова. Они противопоставляются однозначным словам, т. е. словам, имеющим одно лексическое значение. Многозначность (полисемия) ...

Театральные постановки
Работу над постановкой театрализованного представления проводим в несколько этапов: 1.Подготовку к театрализованной деятельности начинаем с выразительного чтения произведения и беседы о прочитанном. Выясняем не только содержание, но и отдельные средства выразительности. Чем полнее и эмоциональнее в ...

Общеобразовательная школа в системе диверсификации образования
Общеобразовательная школа - учебно-воспитательное учреждение, базовый элемент образовательной системы. В этом качестве школа — предмет ис­следования различных дисциплин. Только в педагогике проблематика школы занимает вполне самостоятельное место. Изученность различных аспектов деятельности школы в ...