Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Ранняя диагностика отклонений в развитии
Диагностика отклонений в развитии основывается на знании общих и специфических закономерностей психического развития нормально развивающегося ребенка и детей с различными отклонениями в развитии. Диагностика носит комплексный характер, то есть при ее проведении учитываются данные клинической медици ...

Цели, задачи и методика опытно-экспериментальной работы, содержание и результаты начального этапа
В первой главе нами были рассмотрены теоретические аспекты использования активных методов обучения на уроках математики как средства стимулирования познавательной активности младших школьников с трудностями в обучении, уточнено значение ключевых понятий: познавательная активность, методы и средства ...

Математический смысл действий сложения и вычитания
Сложение Действие сложение и вычитание рассматривается с точки зрения различных теорий: количественной теории, аксиоматической теории и теории измерения величин. По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение "непо ...