Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Сущность педагогической технологии в развитии критического мышления через чтение и письмо
Технология критического мышления стала известна в России с 1997г., она развивается при поддержке Консорциума Демократической и Международной Читательской ассоциации в рамках проекта Института «Открытое общество» под названием «Чтение и письмо для развития Критического Мышления». Проект реализуется ...

Методические рекомендации по использованию информационных технологий на практических занятиях
Осуществление компьютерного обучения на базе новых информационных технологий является одним из важных направлений совершенствования профессиональной подготовки будущих педагогов По теме «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных» создано электронное по ...

История развития высшего образования
В Европе на протяжении XII - XV веков начинают появляться университеты. Однако в каждой стране этот процесс происходил по-разному. Как правило, система церковных школ выступала в качестве истока зарождения большинства университетов. В конце XI - начале XII века ряд кафедральных и монастырских школ ...