Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Методические рекомендации к проведению обобщающего повторения
При подготовке к повторительно-обобщающим урокам прежде всего определяются принципиально важные элементы знаний, умений и навыков, которыми должен владеть ученик по повторяемой теме; выделение этих элементов определяет объем повторяемого материала. Затем, исходя из специфики учебного материала, из ...

Организация логопедической работы по формированию элементов описательной речи у дошкольников с ОНР
Для успешного формирования описательной речи у детей с ОНР необходимо положить в основу логопедической работы четкую методологическую базу, исходя из разработанных теоретических вопросов, сформулировать задачи и руководствоваться при построении занятий общедидактическими и специальными принципами, ...

Психофизиологические особенности младших школьников
Владение русским языком дает возможность ребенку усваивать все предметы школьного цикла и с успехом реализовать воспитательные возможности этих предметов. По мнению методистов, занятия русским языком не всегда вызывают у учащихся интерес. Некоторые дети считают его скучным предметом. В первые годы ...