Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем
Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .
Но , так что из только что полученных неравенств вытекает
, ч. т.д.
Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:
, где
.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных
Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях
, где
есть колебание
функции
в частичной области
.
Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое
, что лишь только все диаметры частичных областей
станут меньше
, тотчас будет выполняться
или
при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек
в частичных областях
. Но суммы s и S при заданном разбиении области
, являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства
так что
откуда и следует, что
Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства
сразу ясно, что
и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство
Это интересно:
История воспитания
При рассмотрении истории воспитания необходимо, с одной стороны, рассматривать воспитание как исторически складывающуюся деятельность по социальному воспроизводству определенных форм культуры и деятельности, обеспечивающих существование данного общества. С другой стороны важно выделить различия в с ...
Использование карт на уроках истории
В сегодняшней ситуации отсутствия в ряде школ настенных карт полезно прислушаться к рекомендациям старейших методистов В.С. Мурзаева и Д.Н. Никифорова, которые советуют чертить на доске хорошо запоминающийся детьми географический контур с последующим его заполнением. Так, например, Апеннинский полу ...
Особенности развития координации движений у детей 6-7 лет
Как мы уже выяснили, координация движений – это двигательная способность, которая развивается посредством самих движений. И чем большим запасом двигательных навыков обладает ребенок, тем богаче будет его двигательный опыт и шире база для овладения новыми формами двигательной деятельности. Нам извес ...