Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

История воспитания
При рассмотрении истории воспитания необходимо, с одной стороны, рассматривать воспитание как исторически складывающуюся деятельность по социальному воспроизводству определенных форм культуры и деятельности, обеспечивающих существование данного общества. С другой стороны важно выделить различия в с ...

Использование карт на уроках истории
В сегодняшней ситуации отсутствия в ряде школ настенных карт полезно прислушаться к рекомендациям старейших методистов В.С. Мурзаева и Д.Н. Никифорова, которые советуют чертить на доске хорошо запоминающийся детьми географический контур с последующим его заполнением. Так, например, Апеннинский полу ...

Особенности развития координации движений у детей 6-7 лет
Как мы уже выяснили, координация движений – это двигательная способность, которая развивается посредством самих движений. И чем большим запасом двигательных навыков обладает ребенок, тем богаче будет его двигательный опыт и шире база для овладения новыми формами двигательной деятельности. Нам извес ...