Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Дидактические принципы системы Л.В. Занкова
Система начального обучения Л. В. Занкова изначально ставила перед собой задачу "высокого общего развития учащихся". Под общим развитием Л.В. Занков понимал развитие всех сторон личности ребёнка: его познавательных процессов ("ума"), волевых качеств, управляющих всей деятельност ...

Права и обязанности воспитателя, регламентируемые ведущими нормативными документами
В соответствии с законом РФ «Об образовании» от 10.07.1992 № 3266-1 работники дошкольных учреждений имеют следующие права: Статья 55. Права работников образовательных учреждений и меры их социальной поддержки (в ред. Федерального закона от 22.08.2004 N 122-ФЗ) 1. Работники образовательных учреждени ...

Проверка практических и лабораторных работ
С помощью этого метода получают данные об умении учащихся применять полученные знания при решении практических задач, пользоваться различными таблицами, формулами, чертежными и измерительными инструментами, приборами. Преподаватель получает отчет ученика, в котором приводится только результат или с ...