Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Элементы русской народной пляски
Простой хороводный шаг. Отличается от обычной ходьбы большей плавностью и устремленностью. Этим шагом дети водят хороводы. На первых занятиях учитель добивался от детей именно плавности движений. Шаг с притопом на месте. На “раз” дети делают шаг левой ногой на месте, ставя ее рядом с правой, на “дв ...

Проект "Использование компьютерных презентаций на уроках литературы в 12-м классе" по теме "Поэзия серебряного века"
1. Преамбула. Что-то нужно менять! Доклады и сообщения являются широко распространенными видами “устного народного творчества" учащихся cтарших классов на уроке литературы. Школьники выступают с докладами при изучении обзорных тем, на уроках, посвященных биографии писателя, при анализе художес ...

Специфика метода проектов
Спецификой метода обусловлен его воспитательный потенциал. Особая педагогическая значимость метода проектов заключается в следующем: - он открывает возможности формирования собственного жизненного опыта ребенка по взаимодействию с окружающим миром; - является педагогической технологией, актуализиру ...