Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Третье разбиение получено из первого добавление новых линий деления; поэтому, на основании доказанного первого свойства сумм Дарбу, имеем

Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что .

Но , так что из только что полученных неравенств вытекает , ч. т.д.

Остается справедливым для функции двух переменных следующее неравенство:

, где .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было или в других обозначениях , где есть колебание функции в частичной области .

Доказательство необходимости. Предположим, что существует двойной интеграл от функции f (x, y). Тогда по любому заданному найдется такое , что лишь только все диаметры частичных областей станут меньше , тотчас будет выполняться

или

при любом разбиении области на частичные подобласти и произвольном выборе точек в частичных областях . Но суммы s и S при заданном разбиении области , являются, как было установлено ранее, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней гранями; поэтому для них будут иметь место неравенства

так что

откуда и следует, что

Доказательство достаточности. Предположим, что выполняется условие Тогда из неравенства сразу ясно, что и, если обозначить их общее значение через I, то выполняется неравенство

Это интересно:

Коррекционная направленность физического воспитания
Физическая культура – это особая и самостоятельная область культуры, которая приобретает ряд специфических черт в приложении к инвалидам различных групп, занимающихся физическими упражнениями и массовым спортом. Обеспечивая развитие двигательного аппарата, укрепляя здоровье, повышает работоспособно ...

Теоретические представления о воспитании
Будучи сложным социальным явлением, воспитание является объектом изучения ряда наук. В рамках философии исследуется познавательное, ценностное, социально-политическое, нравственное и эстетическое отношение человека к миру, онтологические и гносеологические основы воспитания; формулирует наиболее об ...

Методика обучения письму глухих школьников
В соответствии с программой подготовительного класса, сроки обучения чтению опережают время начала обучения письму. Письменная речь формируется у глухих школьников на основе устно-дактильной. При письме слов и фраз они обязательно дактилируют и артикулируют слово. По мере развития произносительных ...