Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Использование общих методов с целью музыкального воспитания
«Теория и методика музыкального образования» опирается на общую педагогику. При этом критерий выбора методов работы в контексте специфики музыкального образования зависит от особенностей содержания учебного материала (его сложности и новизны), конкретных педагогических целей, подготовленности детей ...

Авторская разработка урока по информатике «Системы счисления»
Первое занятие из 7-х учебных часов. Цели урока: Дидактическая – приобретение новых знаний по теме «Системы счисления», формирование специальных умений и навыков по данной теме. Развивающая – учить выделять главное; развивать мышление учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого м ...

Специфика учебной мотивации студента
На формирование учебной мотивации студента вуза ведущую роль оказывает влияние наличие следующих факторов, которые можно систематизировать по двум группам: 1. Социально-психологические факторы: макросредовые (общегосударственные, регионально-этнические), микросредовые (факторы семьи, Вуза, обществе ...