Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Диагностика осложненного поведения подростков
Научно-педагогические теории последних десятилетий, а также опыт социальных педагогов-исследователей дают возможность рассматривать социально-педагогическую диагностику как неотъемлемый компонент учебно-воспитательного процесса. По мнению кандидата педагогических наук Л.И. Лесун, грамотное использо ...

Психологическая характеристика ребенка - дошкольника
Цель: Научиться составлять психологическую характеристику ребенка – дошкольника. Параметры психологической характеристики ребёнка – дошкольника. Общие сведения о ребёнке Фамилия, имя Олеся Ш. Дата рождения 29. 10 2007 Состояние здоровья - часто ОРВИ Общее физическое развитие - N Состав и особенност ...

Использование интернета при подготовке к урокам ОБЖ
Информационное общество предъявляет новые требования к системе образования. Теперь одной из её целей является формирование высокого уровня информационной культуры. Особая роль при этом отводится использованию ресурсов и возможностей Интернета в педагогической практике учителя. Сегодня уже не вызыва ...