Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Разработка и реализация программы театрального кружка, содействующего снижению агрессивности старших дошкольников
После проведения констатирующего этапа нашего эксперимента обозначилась насущная необходимость обучения детей и их родителей открытому проявлению своих чувств, переживаний. Необходимо научить детей, родителей как способам общения детей друг с другом, так и способам выхода из разных негативных эмоци ...

Проблемы интегрированного обучения
Необходимость обращения к интегрированному обучению вызвана рядом объективных причин, которые обнаружились в процессе работы в средней школе. Одной из важнейших проблем является заметное снижение интереса учащихся к предметам естественно-математического цикла, что во многом обусловлено объективной ...

Динамика изменения габаритных показателей детей 7 - 15 лет, не занимающихся спортом
В ходе решения второй задачи была исследована динамика изменения выбранных нами показателей. Результатом исследования стали результаты, представленные на графике, вертикальная ось которого обозначает: для длины тела и обхвата грудной клетки - см., для веса тела - кг.; а горизонтальная ось указывает ...