Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Организация уроков биологии с использованием экскурсий
Преподавание биологии успешно только в том случае, если работа учителя с учащимися во всех ее формах представляет собой целенаправленную систему обучения и воспитания, развивающую в единстве биологические понятия, диалектико-материалистическое мировоззрение, мышление и навыки самостоятельной практи ...

Особенности старшего школьного возраста и выбор профессии
Подготовка учащихся к осознанному выбору профессии - важная социально-педагогическая задача школы. В Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. говорится о необходимости улучшения профессиональной ориентации школьника. Переход на предпрофильное и профильное обучение актуали ...

Воспитание ребенка младшего школьного возраста в семье
Еще в древней Греции Платон вслед за Сократом, утверждал: “Все зло мира, эгоистичность людей, их сословное неравенство произрастают прежде всего из наличия неравных условиях воспитания детей в семьях. Неумеренная любовь родителей к собственному чаду плодит корыстолюбие и прочие свойства, разоблачаю ...