Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Формирование гармонично и всесторонне развитой личности как идеальная цель воспитания
Определение целей и задач воспитания, под которым понимается целенаправленный организованный процесс создания условий и стимулирования развития; личности , имеет большое теоретическое и практическое значение, т.к. во-первых, обстоятельное знание целей воспитания непосредственно влияет на разработку ...

Методические предпосылки изучения несклоняемых существительных
Существительные в курсе русского языка – одна из важнейших тем. В 1 классе происходит знакомство со словами, обозначающими предметы; во 2 классе – рассматривается общее понятие о существительных, род, изменение по числам; в 3 классе – склонение существительных; правописание падежных окончаний; в 4 ...

Трудовая деятельность как средство формирования представлений старших дошкольников о здоровом образе жизни
Необходимость трудовой деятельности обусловила большое значение ее научного исследования. Немало ценных идей по этой проблеме содержится в трудах классиков педагогики – Я. А. Коменского, Дж. Локка, И.Г. Песталоцци, А. Дистервега, К.Д. Ушинского и других. Различные аспекты трудового воспитания иссле ...