Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Примеры проведения театрализованных представлений и упражнений и выводы с точки зрения воспитателя
Хорошим примером для того как использовать театральный опыт для развития личностных качеств и коррекции агрессии детей может послужить курс «Творчество» в московской школе №666 под руководством Ю. Колчеева. Курс «Творчество» нацелен не на то, чтобы научить детей приемам и методам театрального искус ...

Анализ русской народной сказки " Колобок"
Русская народная сказка "Колобок"- сказка о животных. Сказка о том, как баба по просьбе деда испекла колобок и "положила на окошко студится". А колобок прыгнул с окошка и покатился по дорожке. Пока он катился он встречал различных зверей ( медведя, зайца, волка). Все звери хотел ...

Организационные формы и системы обучения
Деятельность учащихся по усвоению содержания образования осуществляется в разнообразных формах и системах обучения, характер которых обусловлен различными факторами: целями и задачами обучения; количеством учащихся, охваченных обучением; особенностями отдельных учебных процессов; местом и временем ...