Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Коррекционная работа по формированию первоначальных представлений о себе
Можно предположить, что коррекционная работа по формированию у умственно отсталого ребенка представлений о себе, развитие форм общения со взрослыми и детьми будут способствовать возникновению у него потребности к установлению определенных социальных отношений со своими сверстниками. Прежде всего мо ...

Содержание эстетического воспитания
Занимаясь изобразительной деятельностью, дети имеют возможность выразить свои впечатления, свое понимание окружающей их жизни и эмоциональное отношение к ней в художественном творчестве: рисовании, лепке, аппликации. Рисование — графически-живописный способ изображения предметов и явлений, основой ...

Процедура создания аттестационной комиссии. Содержание деятельности аттестационной комиссии
Задачами аттестационной комиссии являются обобщение итогов деятельности педагогических и руководящих работников дошкольного учреждения, обеспечение объективности экспертных оценок, соблюдение основных принципов аттестации. Аттестационная комиссия дошкольного учреждения избирается на собрании педаго ...