Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Работа по развитию речи учащихся на материале пословиц и поговорок на уроках литературного чтения в начальной школе
Анализ учебников для чтения был направлен на решение следующих задач: - выяснить, какое место занимают пословицы и поговорки в содержании учебного материала (количественный анализ); - определить тематику пословиц (качественный анализ); - определить типы заданий к данным жанрам фольклора, представле ...

Моделирование учебного процесса на примере темы “ Издержки производства”
В переводе с греческого технология - это “ учение о мастерстве”. (Это совокупность операций, осуществляемых определенным образом и в определенной последовательности, для достижения поставленных целей). Технология управления - это единство стереотипных и творческих действий. Технологизация учебного ...

Специфика учебного предмета «География»
Работа ученых и методистов над созданием школьного предмета «география» продолжается многие годы. Особенно актуальна она в настоящее время. Революционные преобразования, происходящие во всех сферах нашего общества, реконструкция экономики и управления требуют перестройки системы образования. Сущест ...