Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Недоразвитие зрительного анализатора, как фактор, замедляющий речевое развитие
Под нарушением зрительного восприятия понимается недостаточность тех анализаторных процессов, которые связаны с восприятием предметного мира (Р.Е. Левина). Нарушения зрительной системы наносят огромный ущерб формированию психических процессов и двигательной сферы ребенка. Исследователи О.Л. Алексее ...

Диагностика уровней сформированности представлений младших школьников о функциональной зависимости
Для формирования представлений у младших школьников о функциональной зависимости на базе МОУ СОШ №31 города Ишима был проведен эксперимент. В эксперименте приняли участие учащиеся 3 «А» (экспериментальная группа) и 3 «Б» (контрольная группа) классов в количестве по 20 человек в каждом классе. Списо ...

Перспективы использования аутентичных фильмов в процессе изучения английского языка
Внедрение видеоматериалов в обучение потребовало теоретического переосмысления их роли и места в процессе обучения. Под видеоматериалами (видеозаписями) мы понимаем любую телепродукцию (новости, интервью, ток-шоу, рекламные блоки и т.д.), а также художественные, документальные, мультипликационные ф ...