Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся линиям деления еще одной линии деления.

Пусть эта линия разбивает частичную область на части и .

Если через обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней она будет отличаться только тем, что в сумме частичной области отвечало слагаемое а в новой сумме этой частичной области отвечает сумма двух слагаемых

где и суть точные верхние границы функции f (x, y) в областях и . Так как эти частичные области являются частями области , то

так что

Складывая эти неравенства почленно, получим: Отсюда и следует, что Для нижней суммы Дарбу доказательство проводится аналогично.

20. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям области .

Доказательство. Разобьем область произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и .

Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с первым, разбиение области на частичные области. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу и .

Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Это интересно:

Характеристика воспитательной системы гимназии
Экспериментальная гимназия №9 находится по адресу: г.Караганда 12 микрорайон, д.27. В соответствии с целью дипломной работы нам необходимо рассмотреть воспитательную систему в гимназии. Воспитательный процесс в гимназии представляет собой целую систему воспитания и развития на основе синхронно-моду ...

Содержание внеклассной работы
Традиционная тематика внеклассных занятий ограничивалась обычно рассмотрением таких вопросов, которые хотя и выходили за рамки официальной программы, но имели много точек соприкосновения с рассматриваемыми в ней вопросами. Так, например, при изучении в 6 классе признаков делимости натуральных чисел ...

Состав методических документов, моделирующих педагогическую систему
На первом, эмпирическом этапе (стадии) создания УМК от вузовских коллективов требуется не столько создание новых документов, сколько упорядочение и более глубокое осмысливание уже существующих. К этих документам относятся в УМК: учебная программа по дисциплине; рабочая учебная программа, составляем ...