Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Если бы была не ограничена в области , то при любом разбиении области на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.

Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму по абсолютной величине сколь угодно большой.

В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция не будет интегрируема.

Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.

2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в , т.е.

.

Суммы Дарбу

Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу

где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции в i-й области .

Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм [5].

Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на и просуммировать по i .

Свойства сумм Дарбу

10. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.

Это интересно:

Диагностика выявления агрессивности детей старшего дошкольного возраста
С целью изучения путей профилактики агрессивности детей старшего дошкольного возраста средствами досуговой деятельности, нами была проведена опытно-экспериментальная работа в дошкольном образовательном учреждении, состоящая из трех этапов: 1) констатирующий этап - выявление уровня агрессивности ста ...

Описание констатирующего среза
Задание 1 (3 А класс) Ф.И. ученика 1 слово 2 слово 3 слово 4 слово 5 слово 6 слово 1. Арефьев М. + + + + + + 2. Анохина М. - + - + - + 3. Бубнов Ж. + + + + + - 4. Голубцова А. + + + + + + 5. Гаврилова С. + + - + + + 6. Гущин А. + + + + + + 7. Дергач Р. + + + + + + 8. Долгунова К. + + + - + + 9. Евт ...

Использование интернета при подготовке к урокам ОБЖ
Информационное общество предъявляет новые требования к системе образования. Теперь одной из её целей является формирование высокого уровня информационной культуры. Особая роль при этом отводится использованию ресурсов и возможностей Интернета в педагогической практике учителя. Сегодня уже не вызыва ...