Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Если бы была не ограничена в области , то при любом разбиении области на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.

Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму по абсолютной величине сколь угодно большой.

В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция не будет интегрируема.

Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.

2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в , т.е.

.

Суммы Дарбу

Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу

где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции в i-й области .

Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм [5].

Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на и просуммировать по i .

Свойства сумм Дарбу

10. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.

Это интересно:

Физическое воспитание дошкольников в режиме здорового образа жизни
Полноценное физическое развитие и здоровье ребёнка – это основа формирования личности. В Уставе Всемирной Организации Здравоохранения (ВОЗ) говорится, что здоровье – это не только отсутствие болезней или физических дефектов, но и полное физическое, психическое и социальное благополучие. Именно поэт ...

Сущность экологического воспитания
Природа - это удивительный феномен, воспитательное воздействие которого на духовный мир человека, и, прежде всего ребенка - дошкольника, трудно переоценить. Проблема экологического воспитания и образования - одна из самых актуальных на сегодняшний день. Уже с дошкольного возраста необходимо заклады ...

Структура и содержание образовательной области «Безопасность Жизнедеятельности»
Структура и содержание ОО БЖД, определяемые потребностями общества, особенностями сферы образования, имеющимися педагогическими наработками и научной базой, распространяются на общее (начальное, основное, полное) и профессиональное (начальное, среднее, высшее) образование. Стержень ОО БЖД - мировоз ...