Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Если бы была не ограничена в области , то при любом разбиении области на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.

Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму по абсолютной величине сколь угодно большой.

В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция не будет интегрируема.

Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.

2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в , т.е.

.

Суммы Дарбу

Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу

где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции в i-й области .

Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм [5].

Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на и просуммировать по i .

Свойства сумм Дарбу

10. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.

Это интересно:

Особенности развития самостоятельности экономистов в реальной практике обучения
Для определения сущностных характеристик исследуемой проблемы категория самостоятельности была рассмотрена с нескольких позиций: как качество личности и объективная необходимость жизни и деятельности человека в обществе с позиций его отношения к самому себе (Аристотель, Сократ, В.-Ф. Гегель, И. Кан ...

Необходимое условие экстремума функции многих переменных
Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области. Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью, что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство: . Если эту окрестность взять настолько малой, чтобы знак равен ...

Самоанализ проведенных учебных и внеучебных занятий
Лекция. 1. Подготовительный этап. Занятие на тему «Эмоциональные процессы. Понятие эмоций» в учебном курсе у студентов является частью целостной системы обучения. При выборе данной темя мною был изучен учебный курс студентов по психологии и темы была выбрана в соответствии с рекомендациями психолог ...