Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Если бы была не ограничена в области , то при любом разбиении области на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.

Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму по абсолютной величине сколь угодно большой.

В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция не будет интегрируема.

Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.

2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в , т.е.

.

Суммы Дарбу

Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу

где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции в i-й области .

Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм [5].

Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на и просуммировать по i .

Свойства сумм Дарбу

10. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.

Это интересно:

Особенности методических принципов обучения русскому языку детей с отклонениями в развитии
Помимо использования общедидактических принципов рассматриваемая методика как самостоятельная наука разрабатывает и внедряет в процесс преподавания собственно методические принципы, вытекающие из закономерностей овладения языком и речью. Сами закономерности определяются « .как объективно существующ ...

Опытно-экспериментальная работа развития познавательной деятельности детей старшего дошкольного возраста на занятиях по немецкому языку
В исследовании использовались программы Хлыбовой Т.Б. (дошкольная программа по подготовке к чтению и письму на немецком языке), Г. Доля (программа по обучению песенного материала с использованием аудиокассет), Гальсковой Н.Д., Глухаревой Е.А. (программа по немецкому языку для дошкольников) и др. Оп ...

Нарушение письма у учащихся младших классов речевой школы
Анализ данных проведенного исследования процесса письма у детей речевых классов, позволил выявить, что у всех обследованных школьников ЭГ отмечается большое количество разнообразных ошибок на письме. Причем как на дисграфические, так и на орфографические ошибки приходится по 50% от общего числа оши ...