Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Если бы была не ограничена в области , то при любом разбиении области на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.

Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму по абсолютной величине сколь угодно большой.

В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция не будет интегрируема.

Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.

2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в , т.е.

.

Суммы Дарбу

Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу

где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции в i-й области .

Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм [5].

Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на и просуммировать по i .

Свойства сумм Дарбу

10. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.

Это интересно:

Права и обязанности воспитателя, регламентируемые ведущими нормативными документами
В соответствии с законом РФ «Об образовании» от 10.07.1992 № 3266-1 работники дошкольных учреждений имеют следующие права: Статья 55. Права работников образовательных учреждений и меры их социальной поддержки (в ред. Федерального закона от 22.08.2004 N 122-ФЗ) 1. Работники образовательных учреждени ...

Понятие и виды социально-психологического тренинга
В широком смысле слова под социально-психологическим тренингом понимается практика психологического воздействия, основанная на активных методах групповой работы. При этом подразумевается использование своеобразных форм обучения знаниям, умениям и техникам в сфере общения, деятельности, собственного ...

Игры в дошкольном образовательном учреждении
Как отмечают возрастные психологи, ведущая деятельность ребенка дошкольного возраста – игровая. Но, в зависимости от возраста ребенка, игровые действия постепенно усложняются, дети овладевают новыми умениями и навыками. В ходе игры, в том числе сюжетно-ролевой, театрализованной и т.д. дети овладева ...