Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Если бы была не ограничена в области , то при любом разбиении области на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.

Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму по абсолютной величине сколь угодно большой.

В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция не будет интегрируема.

Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.

2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в , т.е.

.

Суммы Дарбу

Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу

где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции в i-й области .

Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм [5].

Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на и просуммировать по i .

Свойства сумм Дарбу

10. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.

Это интересно:

Организация опытно-экспериментальной работы по профессиональной ориентации старшеклассников
Вопрос о выборе профессии - это вопрос о том, что ищет в профессии личность, какие жизненные планы, потребности, интересы и намерения пытается она реализовать в выбираемой сфере деятельности. Конечно, не всякий план и не всякая потребность, интерес и намерение обусловливают устойчивый и достаточно ...

Некоторые методические аспекты экологизации школьного образования
В условиях перехода общества к устойчивому развитию все более осознается "экологическая недостаточность" среднего образования. Учебные материалы не адекватны приоритетным целям обучения. Отсутствуют условия для разнообразной самостоятельной деятельности школьников; учение ориентировано пр ...

Становление экспериментальной системы обучения Л.В. Занкова
Проблема соотношения обучения и развития психики ребенка была в центре внимания Леонида Владимировича Занкова на протяжении всех этапов его научно-исследовательской деятельности. Еще в 20–40-е годы ХХ в., занимаясь изучением психики аномального ребенка, он одновременно исследовал и педагогические у ...