Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Если бы была не ограничена в области , то при любом разбиении области на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.

Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму по абсолютной величине сколь угодно большой.

В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция не будет интегрируема.

Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.

2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в , т.е.

.

Суммы Дарбу

Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу

где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции в i-й области .

Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм [5].

Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на и просуммировать по i .

Свойства сумм Дарбу

10. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.

Это интересно:

Структура образования в США
Обучение в американских вузах ведется по трем основным уровням с разным содержанием и назначением. Первые четыре года (или эквивалентный период времени в системе заочного обучения) высшего образования в США называются первой ступенью и завершаются присвоением степени бакалавра. Слово «колледж», хот ...

Изучение особенностей фонематического восприятия у старших дошкольников с задержкой психического развития
Исследование восприятия устной речи: 1.Исследование состояния звукопроизношения. Осуществлялось общепринятыми в логопедической практике методами. Оценка состояния звукопроизношения: -Правильное произношение всех звуков - 4 балла -Нарушение произношения 1 группы звуков - 3 балла -Нарушение произноше ...

Виды и группы педагогических конфликтов
Система образования как социальный институт взаимодействует со всеми сферами общественной жизни. Поэтому на макро-уровне противоречия и конфликты в социально-педагогическом процессе возникают между системой образования и обществом. На среднем уровне линии противоречий проходят: • между администраци ...