Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Доказательство. Если бы была не ограничена в области , то при любом разбиении области на части она была бы неограниченна хотя бы в одной из ее частей.

Тогда за счет произвольного выбора точки в этой части можно сделать значение функции , а с ним и интегральную сумму по абсолютной величине сколь угодно большой.

В этом случае интегральная сумма , очевидно, не будет иметь конечного предела и, следовательно, функция не будет интегрируема.

Замечание. 1. Обратное утверждение неверно, т.е. не всякая ограниченная функция интегрируема.

2. Это лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. В дальнейшем будем всегда считать ограниченной в , т.е.

.

Суммы Дарбу

Как и в одномерном случае при изучении двойных интегралов существенную роль играют так называемые верхняя и нижняя суммы Дарбу

где через , обозначены соответственно точная нижняя и верхняя границы функции в i-й области .

Легко видеть, что суммы Дарбу являются более простыми суммами по сравнению с интегральными суммами, они однозначно определяются выбранным разбиением области на части; этого нельзя сказать об интегральных суммах. Для непрерывной функции, как легко заметить, суммы Дарбу при заданном способе разбиения области являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм [5].

Для данного способа разбиения области на части независимо от выбора точек будем иметь двойное неравенство:, которое сразу вытекает из очевидных неравенств , если члены обоих этих неравенств умножить на и просуммировать по i .

Свойства сумм Дарбу

10. При дальнейшем дроблении частей области с добавлением к старым линиям деления новых нижняя сумма Дарбу не убывает, верхняя не возрастает.

Это интересно:

Проблема обучения грамматическим навыкам на среднем этапе
Пожалуй, ни один из аспектов обучения языкам не был на протяжении многих лет предметом столь интенсивных обсуждений и дискуссий, как грамматика. Грамматика понималась по-разному, она играла и продолжает играть неодинаковую роль не только при обучении родным или иностранным языкам, но и вообще в сис ...

Разработка заданий по дисциплине "Информатика", направленных на развитие творческих способностей
В условиях информатизации общества в целом и образования в частности, важную роль в формировании качеств конкурентноспособного специалиста играет предмет информатика. Одной из основных задач школьного курса информатики выступает формирование самостоятельного умения работать с информацией, понимать ...

Знaчение экскурсий в преподавании биологии
Всякая экскурсия, как бы велика или скромна ни была её цель, включает в себя не только образовательный, но и воспитательный элементы. Поэтому, приступая к детальному ознакомлению с задачами экскурсионного метода, необходимо различать два основных типа задач - образовательные и воспитательные. Какие ...