Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Игровые технологии как вид педагогических технологий
В настоящее время педагогическую технологию понимают как последовательную взаимосвязанную систему действий педагога, направленных на решение педагогических задач, или как планомерное и последовательное воплощение на практике заранее спроектированного педагогического процесса. Педагогическая техноло ...

Некоторые показатели готовности к обучению детей с особыми проблемами развития
Формирование готовности к школьному обучению у ребенка в значительной степени связано с развитием его нервно-психических функций, что, в свою очередь, обусловлено созреванием организма и, прежде всего, ЦНС. Вместе с тем созревание тех или иных функций ускоряется в процессе активного функционировани ...

Работа по повышению сознательной дисциплины
Для успешного профессионального самоутверждения будущим медицинским работникам необходимы глубокие академические знания, умения и навыки, общительность, способность к саморазвитию и самовыражению, уравновешенность, объективность и, естественно, дисциплина и сознательность. При работе над повышением ...