Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Основные понятия и положения организации и управления системой образования
При формировании и развитии целостной системы управления образованием, функциональный состав управления педагогическими системами должен носить интегративный, междисциплинарный и межнаучный характер. Принятие во внимание этого положения поможет решить проблему преодоления формализма во взаимодейств ...

Психолого-педагогические особенности подросткового возраста
О подростках пишут на страницах журналов, в серьёзных монографиях публикуются результаты исследований вкусов, интересов, потребностей подрастающего поколения. О них думают, спорят, заботятся в семье и школе. Сегодня подростки не такие, какими были вчера. И для того, чтобы их действительно воспитыва ...

Атомы. Простые и сложные вещества
Методика этих уроков изменилась потому, что заменен опыт, лежащий в основе объяснения. Поскольку оксид ртути исключен из числа школьных реактивов, то доказательство разложения молекул на атомы й образования новых молекул из получившихся атомов можно дать на опыте электролиза воды. Помогут уяснить с ...