Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Правовые основы современного образования в России
Базовой юридической основой образования является статья 26 Всеобщей декларации прав человека, принятой ООН 10 декабря 1948 года. В ней говорится: «Каждый человек имеет право на образование. Образование должно быть бесплатным по меньшей мере в том, что касается начального и общего образования. Начал ...

Экологические проекты в ДОУ
Метод проектов, как уже указывалось выше, связан с развивающимся личностно-ориентированным обучением и может широко использоваться в ДОУ любого типа, в работе с детьми старшего дошкольного возраста. Проект позволяет интегрировать сведения из разных областей знаний для решения одной проблемы и приме ...

Правовой статус доходов
Школа вправе вести предпринимательскую и иную, приносящую доход, деятельность, предусмотренную п.2 ст. 47 закона «Об образовании» РФ. Причем учредитель вправе приостановить предпринимательскую и иную, приносящую доход, деятельность, если она идет в ущерб образовательной, предусмотренной уставом, до ...