Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Воспитание в семьях со средним достатком
Средний достаток в семье – понятие, требующее уточнения. Условно назовем среднеобеспеченной ту семью, которая может себе позволить сосредоточить внимание и время матери исключительно на семье и ребенке или пригласить к ребенку педагога-профессионала, если мать предпочитает не расставаться с професс ...

Методика обучения учащихся работам с глиной
Изучение раздела «Работа с глиной и пластилином» направлено на развитие умений и навыков работы с пластичными материалами и предусматривает не только непосредственно лепку, но и проведение наблюдений и опытов за свойствами материалов, знакомство с народными промыслами, посещение выставок и т.д. Уро ...

Анализ влияния средств массовой информации на формирование личности младшего школьника
Средствами воспитания называются целесообразно организованные методические пути решения тех или иных воспитательных задач. Это могут и те предметы, которые используются в воспитательной работе с детьми (наглядные пособия, радио, телевидение), и виды деятельности, в которые вовлекаются учащиеся. Но ...