Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Диагностический инструментарий по формированию полоролевого поведения у дошкольников
В первую очередь следует уточнить лексическое значение понятия «диагностика». Произошедшее от слова «диагноз» (греч. распознание, определение), данное понятие долгое время было абонировано медициной и означало «распознавание болезни» и «определение болезни». Поставить диагноз значило выявить и опре ...

Анализ учебно-методического комплекса В.В. Виноградовой по проблеме исследования
Программа по обучению грамоте (автор Журова Л.Е.) входит в учебно-методический комплект "Начальная школа ХХI века" (научный руководитель Виноградова Н.Ф.) и решает ряд основных задач: развитие фонематического и речевого слуха, обучение сознательному, правильному, плавному слоговому чтению ...

Двигательные умения и навыки
Двигательное умение — способность неавтоматизированно управлять движениями. Умение выполнять движения в результате повторения переходит в навык. Двигательный навык — автоматизированный способ управления движениями. Движение при повторении в одних и тех же условиях постепенно становится привычным: в ...