Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Законы воспитания педагогической антропологии
Среди важнейших законов, сформулированных современной педагогической антропологией, назовем следующие. Закон единства, целостности, неразрывности воспитания. Он отражает системность и амбивалентность человека. Речь идет об уравновешенном развитии эмоциональной, умственной, ценностной, физической и ...

Развитие и формирование комсомольских организаций в СССР
Под воздействием рабочего движения в конце 19 и начале 20 вв. в стране активизировалось студенческое движение. Большевистские организации в высших учебных заведениях помогли партии сплачивать демократическое студенчество, пропагандировать идеи марксизма. Большевики вели работу с молодёжью на завода ...

Основные направления развития системы образования в Челябинской области
Целью управления системой образования области является развитие и повышение роли образования как ключевого, определяющего фактора устойчивого социально-экономического развития и инвестиционной привлекательности области; сохранение лидирующих позиций Челябинской областной образовательной системы в Р ...