Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Формы организации детей при ознакомлении их с природой
Формами организации деятельности детей при ознакомлении их с природой являются занятия, экскурсии, прогулки, работа в уголке природы, работа на земельном участке. Занятия. Это основная форма организации детей в ознакомлении их с природой. Проводятся они в определенные часы по заранее разработанному ...

Коррекционная работа по устранению недостатков звукопроизношения у детей с фонетико-фонематическим нарушением речи
Коррекционная работа включает в себя 3 периода обучения, структура которых заключается в следующем: Индивидуальные и подгрупповые занятия 1. Постановка и первоначальное закрепление звуков в соответствии с индивидуальными планами и планом фронтальных занятий. 2. Преодоление затруднений в произношени ...

Художественная литература как метод воспитания интереса к природе у детей дошкольного возраста
При ознакомлении детей с природой используют рассказ воспитателя, чтение художественной природоведческой книги, беседу. Словесными методами решается ряд задач. Конкретизируются, пополняются, уточняются знания об известных детям явлениях природы и фактах из жизни животных и растений, полученных в пр ...