Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Общая характеристика детей, принимавших участие в эксперименте
В исследовании приняло участие 28 детей в возрасте 3–4 года, из них девочек – 12 человек, мальчиков – 16 человек. Вся выборка детей была разделена на две группы в зависимости от состояния зрения. В первую группу вошли дети с нормальным зрением, во вторую группу – дети с нарушениями зрения. Характер ...

Участие в научных симпозиумах
Участие в научных симпозиумах должно стать для пишущего диссертацию важнейшей частью, во-первых, научного роста, во-вторых, апробации нарабатываемого для диссертации исследовательского материала. Конечно, не следует «гоняться» за каждой конференцией, но чем в большем количестве научных симпозиумов ...

Выявление уровня сформированности навыков чтения у учащихся с нарушением интеллекта 3 класса
Цель данного этапа – выявление исходного уровня сформированности навыков чтения (выразительность, беглость, правильность, сознательность) у детей с интеллектуальной недостаточностью. В эксперименте принимали участие учащиеся 3-го класса (15 человек) специальной (коррекционной) школы VIII вида г. Чи ...