Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Общая характеристика средств обучения истории, их классификация
Под учебными комплексами обычно понимают учебно-методическую литературу, наглядные и иные средства обучения по каждому курсу истории. К ним относятся: учебные пособия (учебные пособия, хрестоматии, книги для чтения); методическая литература (методические пособия, книги, статьи, рекомендации, сборни ...

Развитие познавательной активности
Чтобы говорить о путях и условиях развития познавательной деятельности обучающихся, надо, прежде всего, определить, от чего зависит это развитие. Формирование познавательного интереса происходит в учебной деятельности, структуру которой составляют задачи, содержание, способы и мотивы. Другой путь ф ...

Основные методы и приемы работы с задачей в начальной школе
Начальный курс математики раскрывается на системе целесообразно подобранных задач. Значительное место занимает в этой системе текстовые задачи. Текстовая задача — есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситу ...