Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Пусть теперь – одно из значений интегральной суммы, отвечающей тому же разбиению области (P), что и суммы s и S, тогда, как известно,

Согласно условию , если предположить все достаточно малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взятое . Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел и : , так что является пределом для , т.е. двойным интегралом [1]. ч. т.д.

Интегрируемость непрерывной функции

Теорема. Всякая непрерывная в области функция интегрируема.

Доказательство. Действительно, если функция непрерывна в (замкнутой) области , то по свойству равномерной непрерывности каждому отвечает такое , что в любой части области с диаметром, меньшим чем , колебание функции будет меньше чем . Пусть теперь область разложена на части , диаметры которых все меньше . Тогда все колебания и

,

откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана.

Основные свойства двойного интеграла

10. Если область , в которой задана непрерывная функция , непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом

Это интересно:

Основные элементы современной педагогической системы, моделируемые в программе
Поскольку учебная программа является эскизной информационной моделью определенной педагогической системы, то в ней, в принципе, должны быть отображены такие элементы системы, как цели обучения и воспитания, реализуемые изучением данного учебного предмета, раскрыто содержание предмета, которое напра ...

Наркологическая ситуация в детско-подростковой среде
В последние годы в Российской Федерации, практически во всех регионах, ситуация, связанная со злоупотреблением наркотическими средствами и их незаконным оборотом, имеет тенденцию к утяжелению. Быстро растет число потребителей психоактивных веществ (ПАВ), включая наркотические и токсикоманические ср ...

Коррекционно - развивающая работа психолога
Коррекционно-развивающая программа разрабатывается и осуществляется в совместной деятельности детского (школьного) психолога и педагога (воспитателя, учителя). Психолог на основе психологического обследования детей (психодиагностики) или психологического анализа какой-либо педагогической ситуации ф ...