Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Содержание и структура современного школьного учебника
Учебник был и остается основным средством обучения в школе. За последнее десятилетие в этой области произошли кардинальные изменения. Там, где существовал единый и единственный учебник по истории и обществоведению (по принципу «один предмет – одна параллель – один учебник»), появилось несколько уче ...

Анализ русской народной сказки " Колобок"
Русская народная сказка "Колобок"- сказка о животных. Сказка о том, как баба по просьбе деда испекла колобок и "положила на окошко студится". А колобок прыгнул с окошка и покатился по дорожке. Пока он катился он встречал различных зверей ( медведя, зайца, волка). Все звери хотел ...

Методические средства, направленные на развитие логического мышления младших школьников при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания
В основу методики математического развития ребенка легло требование реализации моделирующей деятельности с математическими понятиями и отношениями. Главным принципом этого требования является преимущественное использование модельного подхода к обучению. Этот принцип позволяет осуществлять математич ...