Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Методические рекомендации к проведению мероприятия
Специфика школьного мероприятия (беседы) состоит в том, что деятельность преподавателя здесь неотделима от деятельности учащихся: проводя беседу, необходимо одновременно руководить работой слушателей. Готовясь к мероприятию, важно думать не только о том, что и как рассказать и показать, но и о том, ...

Аналитическое исследование установок и результатов воспитания
Классическая теория психоанализа внесла неоценимый вклад в развитие и анализ представлений семейных взаимоотношений. Это была первая теория, которая рассматривала детско-родительские отношения в качестве главного фактора развития детей и взросления подростков. По З.Фрейду, мать является для ребёнка ...

Экологические аспекты изучения темы «полимеры» в курсе химии средней общеобразовательной школы
Экологическое образование и развитие школьников – полноценная область знания, познания самого себя, окружающего мира, которая реально воздействует на формирование мировоззренческой компоненты их развития как личностей. Вашему вниманию представляется урок на тему: «Полимеры», наполненный экологическ ...