Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Приёмы восстановительного обучения, используемые в ходе эксперимента
1. Пациент C.В.И. 10.04.1925г. Логопедический диагноз: Афферентная моторная афазия. Учитывая сложность патологии (повреждение головного мозга), коррекционная работа длится длительно. Одно задание может усваиваться в течение 2-3 недель. При работе с данным пациентом, мы обратили внимание, что усвоен ...

Подготовка мастера к занятиям
Мастер п/о: Дмитрук Юрий Иванович Раздел п/о: Ремонт машин Тема урока: Ремонт системы охлаждения Тип урока: комбинированный Цель урока: Закрепить на практике полученные теоретические знания по ремонту системы охлаждения. Обучающаяся. Сформировать умения и навыки по ремонту системы охлаждения тракто ...

Интеллектуальное тестирование
В понятие «искусственный интеллект» вкладывается различный смысл — от признания интеллекта у ЭВМ, решающих логические или даже любые вычислительные задачи, до отнесения к интеллектуальным лишь тех систем, которые решают весь комплекс задач, осуществляемых человеком, или еще более широкую их совокуп ...