Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Опытно–экспериментальная работа по формированию количественных представлений у детей средней группы средствами сюжетно – дидактической игры
Опытно-экспериментальная работа проводилась в Муниципальном дошкольном образовательном учреждении (МДОУ) №5 «Сказка» г. Микунь в период с 9.10.2006 по 6.04.2007 года. Экспериментом было охвачено 20 детей средней группы. Первым этапом опытно-экспериментальной работы было проведение констатирующего э ...

Формы и способы активизации мыслительной деятельности учащихся при проверке домашнего задания
Проблемы с проверкой домашнего задания, безусловно, существуют, но это, как утверждают многие успешно работающие учителя, – разрешимые проблемы, и решить их для себя должен каждый педагог, потому что высоких результатов в обучении школьников можно достичь лишь при условии, если качество домашних за ...

Основные принципы деятельности методической работы
Систематизирующим фактором развития методической службы являются принципы ее деятельности, а именно: 1. Принцип сравнительного педагогического анализа. Позволяющей определить место авторской педагогической идеи в общем педагогическом процессе, увидеть свое продвижение, выверить свою позицию в сравн ...