Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

История становления профориентации
Начало профориентации нередко относят к 1908 г. — к моменту открытия первого профконсультационного бюро в г. Бостоне (США). Однако согласно другой точке зрения профориентация появилась гораздо раньше, в глубокой древности. Возникла профориентация из потребностей развития человеческого общества, а п ...

Значение физического развития для здоровья школьников 7-15 лет не занимающихся спортом
По данным учёных, одним из значимых критериев здоровья детей и подростков является их физическое развитие. Длину и массу тел считают наиболее существенными медико-социальными и санитарно-гигиеническими показателями, по которым в определённой мере можно судить как о положительном, так и об отрицател ...

Методические условия организации работы учителя начальных классов в использовании моделей при обучении первоклассников чтению и письму
Метод моделирования осуществляется через использование моделей. В. А. Штофф дает такое определение этому понятию: "Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ...