Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Возможности использования систем дистанционного обучения как сопровождение учебного процесса
Одним из важнейших глобализационных процессов является вхождение России в общеевропейское образовательное пространство. Этот процесс должен быть осмыслен и стратегически определен с учетом общей стратегии России в отношении к глобализации. В целом можно сказать, что современная цивилизация вступила ...

Влияние оценочной деятельности на формирование учебно-познавательной мотивации
Возможность целенаправленного формирования и развития мотивов человека остаётся мало изученным вопросом в отечественной и зарубежной психологии. Важность этой проблемы обусловлена взаимосвязью вопроса о развитии мотивов и потребностей с вопросом о развитии личности в целом. Тип личности, мотив и мо ...

Классификация дисграфии
Наиболее обоснованной является классификация дисграфий, в основе которой лежит несформированность определенных операций процесса письма, разработанная сотрудниками кафедры РГПУ им. А.И. Герцена. Ведущими критериями этой классификации являются механизмы нарушения. Выделяют следующие виды дисграфии: ...