Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Возможности использования опорного и игрового контроля знаний в обучении младших школьников
В возрастной психологии младший школьник характеризуется как «возраст 7-10 – летних детей, обучающих в 1-4 классах современной или полной средней школы». В младшем школьном возрасте у ребенка впервые формируется учебная деятельность, которая является для него ведущий. Младший школьник переходит от ...

Познавательно-обучающие занятия. Занятие «Соль и перец»
Смешайте немного соли и перца вместе. А затем попросите ребенка отделить ложкой соль от перца. Конечно, эти попытки не принесут никакого результата. Секрет в том, что надо потереть ложку о свитер, желательно сделанный из искусственной шерсти или волокна. А затем подержать ее над смесью. Перец очень ...

Функциональная пропедевтика на уроках математики в VI классе
В 6 классе функциональная пропедевтика расширяется. По математике, рассматривая прямую и обратную пропорциональность, дают табличные записи этой функциональной зависимости, формулы у=кх, у=к/х;на уроках математики вводят буквенные обозначения, где под буквой подразумевается любое допустимое значени ...