Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Международное миротворческое движение «Харитоновцы»
Движение возникло в 2006 году и было названо в честь нашего земляка, моряка-героя Валерия Харитонова, погибшего в 1961 году на атомной субмарине «К-19». Харитонов стал одним из 8 добровольцев, пожертвовавших жизнью ради предотвращения взрыва на подлодке, который мог послужить сигналом к началу 3-й ...

Сущность понятия пространственного мышления
Проблема формирования пространственного мышления школьников не нова для методики обучения математики, а об актуальности её говорится и пишется уже не одно столетие. Но анализ психолого-педагогической литературы показывает, что со времен Ф. Клейна (1849-1925 гг.) мало, что изменилось в решении этой ...

Становление христианской религии и истоки христианских сект
Первый период возникновения христианства отмечен ожесточенной борьбой мелких сект, в ходе кт формировались христианское вероучение, ритуалы, организация. В послании многих апостолов веры христовой говорится о "лжеучителях, которые разоряли дело Божье". Эти "лжеучители", как гово ...