Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.

Понятие двойного интеграла

Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области . При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области , отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать вместо , если , – координаты точки .

Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.

Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области (рис. 15).

Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.

Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция . Разобьем область произвольным образом сетью кривых на конечное число частей , площади которых соответственно обозначим через (рис. 16).

В каждой из частичных областей () возьмем произвольную точку и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой для функции в области .

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область , иногда называют рангом произведенного разбиения.

Это интересно:

Подготовка мастера к занятиям
Мастер п/о: Дмитрук Юрий Иванович Раздел п/о: Ремонт машин Тема урока: Ремонт системы охлаждения Тип урока: комбинированный Цель урока: Закрепить на практике полученные теоретические знания по ремонту системы охлаждения. Обучающаяся. Сформировать умения и навыки по ремонту системы охлаждения тракто ...

Формы, методы и средства нравственно-этического воспитания
Процесс воспитания осуществляется в различных формах при помощи разнообразных методов, приемов и воспитательных средств. Понятие форма воспитания в педагогической литературе определяют как способ организации воспитательного процесса. Формы организации воспитательного процесса в самом общем виде отр ...

Секты в царской России. Положение сект в XX веке
Сведения о самозваных "Христах", призывавших крестьян на борьбу за "истинную веру", известны со времени крещения Руси. Религиозное разномыслие появляется в России вместе с православием. Вместе с православием на Русь проникают и его спутники - ереси. По разным источникам, сектант ...