Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Задача об объеме цилиндрического тела

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию – двойного (определенного) интеграла.

Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , наконец, снизу – плоской фигурой на плоскости (рис. 14). Требуется найти объем тела [1].

Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область сетью кривых на части и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке: . Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным

,

где означает площадь плоской фигуры [1]. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей ) это равенство делается точным, так что

,

и задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области ; он обозначается символом

,

так что формула для объема принимает вид

.

Это интересно:

Физическая подготовленность
Для исследования физической подготовленности школьников использовались достаточно простые, апробированные и доступные для учителя физической культуры методы. В программу исследования физической подготовленности в условиях школы были введены следующие тесты: 1) прыжок в длину с места; 2) прыжок в вы ...

Диагностика осложненного поведения подростков
Научно-педагогические теории последних десятилетий, а также опыт социальных педагогов-исследователей дают возможность рассматривать социально-педагогическую диагностику как неотъемлемый компонент учебно-воспитательного процесса. По мнению кандидата педагогических наук Л.И. Лесун, грамотное использо ...

Классификация дисграфии
Наиболее обоснованной является классификация дисграфий, в основе которой лежит несформированность определенных операций процесса письма, разработанная сотрудниками кафедры РГПУ им. А.И. Герцена. Ведущими критериями этой классификации являются механизмы нарушения. Выделяют следующие виды дисграфии: ...