Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Задача об объеме цилиндрического тела

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию – двойного (определенного) интеграла.

Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , наконец, снизу – плоской фигурой на плоскости (рис. 14). Требуется найти объем тела [1].

Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область сетью кривых на части и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке: . Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным

,

где означает площадь плоской фигуры [1]. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей ) это равенство делается точным, так что

,

и задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области ; он обозначается символом

,

так что формула для объема принимает вид

.

Это интересно:

Механизмы и условия формирования эффективного взаимодействия учителя с учениками
Как было показано в п.п. 1.1., 1.2., общение играет важную роль в учебно-воспитательном процессе. Используя общение, изменяя его содержание, тон, стиль, варьируя соотношение функций, можно изменять настроение ученика, его отношение к предметам и явлениям, обогащать его знания, развивать мышление, и ...

Развивающеe обучения и формирование рефлексии
Развивающее обучение по системе Эльконина-Давыдова нацелено на формирование у человека, способности приспосабливаться к быстро изменяющимся условиям, способности прежде всего учиться. Рефлексия функционирует, в том числе, и внутри такой системы как способность учиться, но умение учиться включает в ...

Компьютер : за и против
Современные дети все активнее используют в качестве главных источников информации телевидение, видео, компьютеры, порой в ущерб чтению книг, общению с окружающими людьми, природой, двигательной активности, необходимым для гармоничного развития личности. При работе на компьютере организм человека ис ...