Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Задача об объеме цилиндрического тела

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию – двойного (определенного) интеграла.

Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , наконец, снизу – плоской фигурой на плоскости (рис. 14). Требуется найти объем тела [1].

Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область сетью кривых на части и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке: . Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным

,

где означает площадь плоской фигуры [1]. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей ) это равенство делается точным, так что

,

и задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области ; он обозначается символом

,

так что формула для объема принимает вид

.

Это интересно:

Диагностики “оперирование образами” на геометрическом материале детей 10-13 лет
Цель: определить ориентацию ребенка на путь решения посредством оперирования образами при решении задачи нахождения такой же геометрической фигуры (сравнения геометрических объектов). Необходимое оборудование: бланки с заданиями, образец – посредник. Описание задачного материала. Задания (см. прило ...

Проектирование мастерской
Столярная мастерская – это кабинет технологической подготовки учащихся, от правильной разработки и создания оптимальных условий каждому учителю и учащемуся в определенной мере зависит результативность всего учебно-воспитательного процесса. Площадь помещения мастерской зависит от количества обучаемы ...

Общая характеристика и структура самостоятельности
Самостоятельность в общепринятом значении – это независимость, способность и стремление человека совершать действия или поступки без помощи других. Самостоятельность – это не только отсутствие помощи учителя, внешних опор, но и своеобразие, оригинальность, способность по-своему, интересно решать ту ...