Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Задача об объеме цилиндрического тела

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию – двойного (определенного) интеграла.

Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , наконец, снизу – плоской фигурой на плоскости (рис. 14). Требуется найти объем тела [1].

Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область сетью кривых на части и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке: . Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным

,

где означает площадь плоской фигуры [1]. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей ) это равенство делается точным, так что

,

и задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области ; он обозначается символом

,

так что формула для объема принимает вид

.

Это интересно:

Основы юридических отношений между родителями и детьми
В семейном праве важное место занимает регламентация отношений между родителями и детьми. Общественные и правовые отношения, возникают между родителями и детьми (например: усыновление, попечительство, опекунство над несо-вершеннолетними детьми), включают в себя широкий круг общественных отношений. ...

Отопление и утепление жилища
В жилом помещении должна поддерживаться постоянная температуры на уровне 18-23° С. Эту температуру в холодное время года поддерживают при помощи отопления и утепления жилища. Утепление окон. Современные металлопластиковые окна имеет достаточный уровень тепло и звукоизоляции. Так что приведем советы ...

Функции и педагогические возможности игры
Игра – явление сложное и многогранное. Анализируя источники, мы выделили несколько важных ее функций: - социокультурная функция может означать синтез усвоения ребенком богатства культуры, потенций воспитания и формирования его как личности, позволяющей ему выступать в качестве полноправного члена д ...