Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Задача об объеме цилиндрического тела

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию – двойного (определенного) интеграла.

Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , наконец, снизу – плоской фигурой на плоскости (рис. 14). Требуется найти объем тела [1].

Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область сетью кривых на части и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке: . Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате , то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным

,

где означает площадь плоской фигуры [1]. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей ) это равенство делается точным, так что

,

и задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области ; он обозначается символом

,

так что формула для объема принимает вид

.

Это интересно:

Возрастные особенности детей младшего дошкольного возраста
Младший дошкольный возраст характеризуется высокой интенсивностью физического и психического развития. Повышается активность ребенка, усиливается ее целенаправленность; более разнообразными и координированными становятся движения. С 3–4 лет происходят существенные изменения в характере и содержании ...

Упражнения, направленные на преодоление аграмматической дисграфии
При устранении аграмматической дисграфии широко используются письменные упражнения: Вставить пропущенные флексии, суффиксы, приставки в предложениях. Дрова рубят топор Сахар кладут в сахар . Поезд .ъехал к станции. Закончить предложения, изменяя слово вода. - Девочка загорает у …. - Мальчик выходит ...

Высказывания. Логические операции
Цель: сформировать у учеников понятие о математической логике, логике высказываний. Задачи: – сформировать у учеников понятие о высказываниях, логике высказываний. – развить практические навыки решения задач по данному материалу. – формирование у детей научного мировоззрения. План урока: 1. Орг. ча ...