Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Мотивации получения высшего образования среди студентов и учащихся
Для выявления мотивации получения высшего образования мною было проведено социологическое исследование. В качестве респондентов мной было взято 100 человек, проживающих в г. Екатеринбурге: 20 - родителей учащихся 11-х классов (100%), 30 - студентов финансово-юридического института 2-го курса (100%) ...

Учет психолого-педагогических особенностей младших школьников
Учет индивидуальных психолого-педагогических особенностей младших школьников это ведущая характеристика формирования результатов учебной деятельности. Именно в младшем школьном возрасте начинается целенаправленное обучение и воспитание, основным видом деятельности младшего школьника становится учеб ...

Особенности нетрадиционных уроков
Сегодня всё большее внимание уделяется человеку как личности – его сознанию, а также высоко развитому интеллекту и интеллектуальному потенциалу. Соответственно, не вызывает сомнения чрезвычайная важность, острая необходимость такой подготовки подрастающего поколения, при которой среднюю школу оканч ...