Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Разработка метода проектов
Роль учителя при выполнении проекта. Самое сложное для учителя в ходе проектирования - это роль независимого консультанта. Трудно удержаться от подсказок, особенно если педагог видит, что учащиеся выполняют что-то неверно. Но важно в ходе консультаций только отвечать на возникающие у школьников воп ...

Анализ деятельности педагогов Дворца творчества детей и молодежи, как условия реализации лидерских качеств
Педагоги Дворца творчества детей и молодежи (ДТДиМ) – это единомышленники, люди активные и творческие, каждый из них вносит в общее дело что-то новое, интересное. Созданные педагогами Дворца творчества условия помогают каждому ребенку от 3 до 18 лет реализовать себя в творческой деятельности с опор ...

Итоги за 2012 г. по мониторингу Минобрнауки
Мониторинг эффективности деятельности вузов, принятие нового Федерального закона “Об образовании” и повышение уровня средней зарплаты профессорско-преподавательского состава - темы, ставшие в 2012 году главными для образовательного сообщества. 01 ноября 2012 года, Минобрнауки был опубликован список ...