Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Уровни восприятия художественной литературы младшими школьниками
Картина восприятия одного и того же произведения учениками одного и того же класса будет неоднородной. Как варьируется восприятие литературы младшими школьниками исследовала М.П. Воюшина. Она выделила четыре уровня восприятия художественного произведения, характерных для младших школьников. У ребен ...

Экспериментальное исследование педагогической поддержки в период адаптации детей 3-4 лет в ДОУ
Основой организации нашего исследования является предположение, о том, что младший дошкольник легче пройдет адаптацию в ДОУ, если педагогическая поддержка будет: осуществляться исходя из индивидуальных затруднений ребенка; включать разнообразные способы превентивной и оперативной помощи детям; стро ...

Разработка заданий по дисциплине "Информатика", направленных на развитие творческих способностей
В условиях информатизации общества в целом и образования в частности, важную роль в формировании качеств конкурентноспособного специалиста играет предмет информатика. Одной из основных задач школьного курса информатики выступает формирование самостоятельного умения работать с информацией, понимать ...