Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Технология интерактивного обучения
Интерактивное обучение представляет собой такую организацию учебного процесса, при которой практически все учащиеся оказываются вовлечёнными в процесс познания. Структура урока, проведённого в интерактивном режиме, включает 8 этапов. Остановлюсь на особенностях организации каждого из них. Мотивация ...

Система работы по формированию орфографической зоркости
Умение ставить орфографические задачи, как и другие орфографические умения, может формироваться стихийно и целенаправленно. Выделяют два пути решения данной проблемы: 1. Орфографическая зоркость развивается на интуитивной основе; 2. Умение обнаружить орфограмму развивается на теоретической основе в ...

Влияние двигательного анализатора на общее развитие ребенка
Развитие ребенка младшего школьного возраста (дети 6-7 лет), становление его личности зависит в большей степени от его способности к действию, его адекватности все осложняющемуся процессу приспособления. Новые условия жизни, в которые попадает ребенок в данном возрасте, приводят к усложнению возник ...