Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Программа студии вокально-инструментальной музыки
Пояснительная записка Специфика занятий, подбор репертуара, участие в концертной деятельности учитывают желание учащегося, его интерес, возможности, способности, психологические особенности (а так же стартовый уровень знаний). В данной программе заложен большой воспитательный потенциал. Во время об ...

Дидактические принципы в обучении
Одна из важных и постоянных задач педагогики — это при­ведение содержания и методов обучения в соответствие с тенден­циями развития науки, техники, производства и последними до­стижениями в работе новаторов производства. В связи с этим обновляются учебные программы, из них исключается устарев­ший м ...

Результативность работы МО ОБЖ СОШ №10 в плане подготовки учащихся к современным условиям жизнедеятельности
В рамках проводимого экспериментального исследования роли курса ОБЖ в подготовке учащихся к современным условиям жизнедеятельности на базе МОУ СОШ №10 ст. Придорожной Каневского района в конце 2007-2008 учебного года было проведено анкетирование учащихся 9-11 классов с целью выявить самооценку учащ ...