Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Эксперимент по выявлению эффективности интерактивного метода на уроке русского языка в 4 классе
Для обоснования и подтверждения теоретических положений, представленных в данной работе было организовано опытно-экспериментальное исследование, в ходе которого предполагалось доказать эффективность предлагаемого комплекса уроков русского языка с применением интерактивных методов обучения для 4 кла ...

Наречие и слова категории состояния как части речи
Наречие – старое слово. Оно уже было в древнерусском языке и нашло отражение в словаре И. И. Срезневского, где отмечено его значение как части речи. Если попытаться определить этимологию этого слова, то придется выделить корень реч-. Слово же речь в древнерусском имело различные значения, одним из ...

Воспитание как антропологический процесс
«Воспитатель, который не вдалбливает, а освобождает, не тянет, а поднимает, не угнетает, а способствует формированию личности, не диктует, а учит, не требует, а спрашивает, вместе с ребенком переживает множество вдохновенных минут. В теории воспитания мы часто забываем о том, что должны учить ребен ...