Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Организационные формы методической работы
Методическая работа в образовательном учреждении начального профессионального образования осуществляется в коллективной и индивидуальной формах. Коллективные формы методической работы. Педагогический совет. Педагогический совет являться высшим коллегиальным органов образовательного учреждения профе ...

Характеристика авторской личностно ориентированной методической системы образовательного учреждения
Как определить, что руководитель образовательного учреждения занят созданием именно авторской методической системы, а не чего-то иного? Личностный подход как раз и позволяет вести поиск таких критериев. К ним, по мнению В. В. Серикова, относятся: 1) удержание руководителем в поле своего сознания ко ...

Психолого-педагогические аспекты воспитания культуры поведения детей старшего дошкольного возраста
Активное умственное развитие старшего дошкольника способствует формированию более высокой по сравнению со средним дошкольным возрастом степени осознанности поведения. Дети 6 -7 лет начинают понимать смысл нравственных требований и правил, у них развивается способность предвидеть последствия своих п ...