Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Основные типы и виды упражнений как эффективный прием для формирования грамматических навыков
Основным фактором, обусловливающим успех обучения речевой деятельности, являются упражнения, ибо в упражнениях, моделирующих деятельность, формируются, развиваются и совершенствуются речевые навыки и умения. Целесообразно выделить три типа упражнений для обучения учащихся речевой деятельности: 1) я ...

Анализ коррекционной работы по преодолению свистящего сигматизма у дошкольников с фонетико-фонематическим недоразвитием
В ходе первичного обследования у детей экспериментальной группы были выявлены нарушение свистящих звуков на уровне звука, слога, слова. Исходя их этого, дети были поделены на четыре подгруппы. И в зависимости от нарушения с каждой подгруппой начиналась работа с определенного этапа. Рис. 2.3.1 - Кол ...

Описание содержания работы по использованию компьютерных технологий в процессе обучения русскому языку
Целью формирующего этапа эксперимента является: формирование знаний и умений, расширение кругозора и развитие интеллектуально-речевых умений через использование учебной компьютерной программы «Семейный наставник «, апробирование тестовых заданий с целью выявления успеваемости учащихся и умения выпо ...