Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Организация компьютерного тестирования как основной формы контроля сформированности грамматических навыков
Что касается XXI века наблюдается повышенный интерес к проблеме компьютерного тестирования как основной формы объективного контроля знаний, умений и навыков обучаемых и одного из способов повышения качества образования. Повышение информативности теста – путь наиболее эффективный и реализуется за сч ...

Отображение в программе точно поставленной цели
Как уже упоминалось . во многих учебных программах. особенно программах профессионального обучения . часто содержится обобщенное описание в виде квалификационной характеристики того опыта, которым должен овладеть в ходе обучения учащийся. В ней дается краткое описание того. что учащийся “должен зна ...

Методики изучения детской одарённости
Одними из применяемых в педагогической практике для исследования личности диагностических процедур являются тесты интеллекта. Подобные тесты представляют совокупность заданий, выполнение которых не требует специальных знаний, умений, навыков (как правило) и позволяет оценить общий уровень интеллект ...