Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Значение и содержание игровой деятельности в школьном возрасте
В школе особое место занимают такие формы занятий, которые обеспечивают активное участие каждого ученика, повышают авторитет знаний и индивидуальную ответственность за результаты учебного труда. Эти задачи можно успешно решать через технологию игровых форм обучения. Игра только внешне кажется безза ...

Речевые нарушения у больных, перенесших инсульт
Различают две основных разновидности мозгового инсульта: геморрагический и ишемический. Для геморрагического инсульта характерны такие кровоизлияния как паренхиматозное, кровоизлияние в мозговой ствол, кровоизлияние в полушарии мозжечка, субарахноидальные кровоизлияния, внутрижелудочковые кровоизли ...

Оборудование жилища
Оборудование квартиры должно не только соответствовать требованиям гигиены и быть удобным, но и создавать определенный уют. Оборудование однокомнатной квартиры. В однокомнатной квартире мебель расставляют так, чтобы было место для работы и отдыха членов семьи. Самая необходимая мебель - стол, неско ...