Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Влияние условий орфографического навыка на развитие орфографической зоркости младшего школьника
Место проведения: МОУ "Маркушевская средняя общеобразовательная школа" Тарногского района. Задачи практической части исследования: Подобрать задания, направленные на развитие орфографической зоркости младших школьников. Провести их с учащимися. Оценить результаты проделанной работы. Метод ...

Жанровые особенности пословиц и поговорок
Устное народное творчество своей историей уходит в глубокую древность. Это связано с потребностью людей осознать окружающий их мир природы и свое место в нем. К малым жанрам устного народного творчества относятся частушки, поговорки, пословицы, дразнилки, небылицы, загадки и прочее. Для устного нар ...

Феноменология экологической культуры в современной научной литературе
В философии культура определяется как специфический способ организации и развития человеческой жизнедеятельности, представленный в продуктах материального и духовного труда, в системе социальных норм и учреждений, в духовных ценностях, в совокупности отношений людей и природы, между собой и к самим ...