Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Упражнения, направленные на преодоление аграмматической дисграфии
При устранении аграмматической дисграфии широко используются письменные упражнения: Вставить пропущенные флексии, суффиксы, приставки в предложениях. Дрова рубят топор Сахар кладут в сахар . Поезд .ъехал к станции. Закончить предложения, изменяя слово вода. - Девочка загорает у …. - Мальчик выходит ...

Психологические основы развития критического мышления школьников подросткового возраста
Подростковый возраст связан с перестройкой организма ребенка – половым созреванием. И хотя линии психического и физиологического развития не идут параллельно, границы этого периода достаточно неопределенны. Одни дети в подростковый возраст вступают раньше, другие – позже, пубертатный кризис может в ...

Критерии оценки общего состояния организма школьника
Средствами физического воспитания можно значительно укрепить сердечно - сосудистую, дыхательную и мышечную системы. Мощность этих систем, через систему кровообращения, активизирует обменные процессы в организме при выполнении физических упражнений и способствует выведению продуктов обмена после их ...