Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Эстетика в деятельности учителя
«Эстетикос» по-гречески означает «имеющий отношение к чувственному восприятию». Таким образом, традиционное для советской философии формализованное определение эстетики как науки о прекрасном не совсем раскрывает смысл этого понятия. Применительно к педагогической деятельности это уточнение весьма ...

Психологические основы развития критического мышления школьников подросткового возраста
Подростковый возраст связан с перестройкой организма ребенка – половым созреванием. И хотя линии психического и физиологического развития не идут параллельно, границы этого периода достаточно неопределенны. Одни дети в подростковый возраст вступают раньше, другие – позже, пубертатный кризис может в ...

Полимеры. Химическое строение полимеров
Полимеры – это природные и синтетические соединения, молекулы которых, как следует из их названия (поли – много, мера - часть), состоят из большого числа повторяющихся одинаковых или различных по строению атомных группировок, соединенных между собой химическими и координационными связями в длинные ...