Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Определение 2. Если интегральная сумма при имеет определенный конечный предел :

,

не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается символом

или ,

функция же в этом случае называется интегрируемой в области .

Символ называют элементом площади. Иногда, говоря об элементе площади в прямоугольных координатах, . Такое представление напоминает выражение площади частичной области, если разбиение фигуры осуществить прямыми, параллельными координатным осям, и записать площадь «маленького» прямоугольника в виде произведения .

Определение 3. Интегральная сумма σ стремится к пределу I:

,

если каждому отвечает такое , что для любого разбиения области (P) на конечное число частей (Pi) лишь бы и при любом выборе точек имеет место неравенство .

Замечание. Если положить всюду в области , то получим выражение площади области в виде двойного интеграла:

.

Действительно, непосредственно из определения интеграла следует, что

.

Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных

Теорема. Если функция интегрируема в области , то она ограничена в .

Это интересно:

Методика проведения практического занятия по теме: “ Издержки производства и себестоимости продукции сельскохозяйственого предприятия “
Практическое занятие по определению себестоимости продукции растениеводства и животноводства позволяет будущим специалистам овладеть методикой расчета себестоимости продукции сельского хозяйства , что будет являться основой при изучении предметов “ Анализ хозяйственной деятельности “ ; “ Бухгалтерс ...

Анализ и обобщение результатов экспериментальной работы
Цель: выявить уровень знаний и умений культурного поведения в гостях и общественных местах, с друзьями и взрослыми у умственно отсталых школьников 6 класса. Результат констатирующего этапа эксперимента с результатами контрольного этапа. Сделать выводы. Объект исследования – 12 учащихся с умственной ...

Общение в педагогическом взаимодействии
Взаимодействие является одной из сторон общения (интерактивной). Интерактивная сторона общения, или собственно взаимодействие: от лат. inter (между) + actio (действие) в педагогике, психологии и социологии рассматривается как совместная деятельность, которая представляет собой организованную систем ...