Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Игра как средство нравственного воспитания у детей дошкольного возраста
Для детей от 1 до 7 лет игра – важный фактор познания окружающего мира, освоения ролевых функций, психического развития личности, её социализации и подготовки к будущему. Игра — один из видов человеческой деятельности. Как слож­ное и интересное жизненное явление, она привлекала и привле­кает вниман ...

Методика обучения упражнениям в разных возрастных группах
Младший дошкольный возраст. Организация детей для проведения общеразвивающих упражнений имеет существенное воспитательное значение. Дети учатся быстро реагировать на указания, команды воспитателя, ориентироваться в пространстве. Для выполнения упражнений малышам легче встать в круг. Разбор и раздач ...

Классификация социально-трудовых навыков
Одним из основных методов социального воспитания является предоставление ребенку возможности разнообразно воздействовать на окружающий его мир возможности активно связаться с современностью, социальной и физической средой. Соприкосновение с социальной средой сопровождается в ребенке развитием связе ...