Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Содержательная и операционная сторона коммуникативного чтения
Для нормального протекания процесса чтения на иностранном языке читающий должен хранить в памяти образы морфем и синтаксических схем и их общее значение, абстрагированное от конкретного лексического наполнения, т.е. владеть соответствующими грамматическими (морфологическими и синтаксическими) навык ...

Анализ эффективности проделанной работы по использованию методов и форм формирования коллектива младших школьников
Целью анализа эффективности работы по использованию методов и форм мы выявили: выявить уровень сформированности коллектива. В эксперименте можно определить следующие задачи: выявить изменения, которые произошли в представлении учащихся и навыков взаимоотношения сформированности в коллективе, в резу ...

Система работы по формированию орфографической зоркости
Умение ставить орфографические задачи, как и другие орфографические умения, может формироваться стихийно и целенаправленно. Выделяют два пути решения данной проблемы: 1. Орфографическая зоркость развивается на интуитивной основе; 2. Умение обнаружить орфограмму развивается на теоретической основе в ...