Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Контроль уровня знаний с использованием тестовых заданий
Тесты в современном учебном процессе широко внедряются в практику изучения многих предметов, в том числе в преподавание дисциплины «Основы безопасности жизнедеятельности». К основным достоинствам метода тестового контроля знаний следует отнести простоту и демократичность самой процедуры, экспрессно ...

Практические рекомендации социальному педагогу по работе с многодетными семьями
Главными проблемами являются оказание помощи многодетной семье в воспитании детей, психолого-педагогическое и юридическое просвещение семей, коррекция семейного воспитания, организация досуга семьи. Мы считаем важной также проблему негативного отношения общества к многодетности, создания положитель ...

Изучение опыта работы учителя начальной школы по использованию форм и методов формирования коллектива младших школьников
Опытно – экспериментальная работа проходила в муниципальном образовательном учреждении №6. г.Петрозаводск. в 1 «Б» классе. В исследовании участвовало 26 учеников. Возрастной состав класса: 2004 – 2005 года рождения Учитель 1 «Б» класса – Наталья Олеговна, стаж работы в школе 8 лет. Цель исследовани ...