Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Стили воспитания и ошибки, влияющие на формирование подросткового эгоцентризма
Семья – это чаще всего скрытый от внешнего наблюдения мир сложных взаимоотношений, традиций и правил, которые в той или иной степени сказываются на особенностях личности ее членов, и в первую очередь детей. Тем не менее, существует ряд объективных социальных факторов, которые, так или иначе, сказыв ...

Пословицы и поговорки в программах и учебных пособиях по литературному чтению и русскому языку
Предыдущие материалы позволили нам сделать вывод, что пословицы и поговорки представляют собой богатый языковой материал, при помощи которого происходит приобщение учащихся к культуре русского народа, развивается речь, мышление. Пословицы и поговорки как ценный языковой материал можно использовать ...

Экспериментальное исследование динамики развития мотивов учебной деятельности у школьников
Цель экспериментального исследования: Проследить динамику развития учебных мотивов младших школьников за период их обучения в младшей школе (1–4 класс). Экспериментальная гипотеза: 1. В начале обучения преобладают внешние мотивы, в конце обучения – внутренние мотивы. 2. Отсутствие доминирующего мот ...