Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Коррекционная работа по устранению недостатков звукопроизношения у детей с фонетико-фонематическим нарушением речи
Коррекционная работа включает в себя 3 периода обучения, структура которых заключается в следующем: Индивидуальные и подгрупповые занятия 1. Постановка и первоначальное закрепление звуков в соответствии с индивидуальными планами и планом фронтальных занятий. 2. Преодоление затруднений в произношени ...

Характеристика общепедагогических методов воспитания. Использование общих методов с целью музыкального воспитания
Рассматривая педагогический процесс как целенаправленное взаимодействие воспитателей и воспитанников, мы неизбежно сталкиваемся с вопросом о конкретных методах решения воспитательных задач. Антон Семенович Макаренко называл методы воспитания инструментом прикосновения к личности и призывал пользова ...

Этапы и содержание формирования математических представлений детей старшего дошкольного возраста
Как мы уже отмечали ранее дошкольный возраст – это начало всестороннего развития и формирования личности. В этот период деятельность анализаторов, развитие представлений, воображения, памяти, мышления, речи в комплексе приводят к формированию чувственного этапа познания мира. Интенсивно формируется ...