Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Лингвистические основы обучения первоклассников чтению и письму
Процесс обучения грамоте учитывает не только психологические особенности тех, кто начинает осваивать письменную речь, но и специфику самой речи и, в частности, ее письменность. Иными словами, обучение грамоте может быть успешным в том случае, если методика принимает также во внимание лингвистически ...

Информационная среда и проблемы социализации младших школьников
Очевидно, что для понимания особенностей социализации, формирования системы ценностных ориентации учащихся совершенно недостаточно ограничиваться рассмотрением механизмов этих процессов в рамках лишь образовательных институтов. Формирование норм, образцов социального поведения, личностных идеалов п ...

Требования к традиционному уроку
В основе рациональной организации урока лежат требования, соблюдение которых позволяет учителю повысить коэффициент полезной деятельности учащихся, а, следовательно, и качество их подготовки. В совокупности эти требования ориентируют учителя на оптимальную структуру урока, и позволяют ему упорядочи ...