Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Сущность понятий "деятельность", "активизация деятельности", "учебная деятельность"
В широком смысле под деятельностью понимается многообразие занятий человека, всё то, что он делает. В словаре русского языка С.И. Ожегова деятельность определяется как 1) занятие, труд (научный, педагогический); 2) работа каких-нибудь органов, а также сил природы. С точки зрения философии, деятельн ...

Результативность опыта
С целью оценки эффективности разработанной программы сюжетных занятий на основе ритмической гимнастики в нескольких детских садах был проведен сравнительный педагогический эксперимент, в котором принимали участие дети в возрасте 5-7 лет. Экспериментальная группа занималась по разработанной программ ...

Технология опыта. Игры, направленные на развитие силы
В играх, способствующих развитию силы, занимающиеся преодолевают собственный вес, вес отягощения, сопротивление противника. В таких играх используются предметы: набивные мячи, гантели, скамейки и т.д. или партнёр по тренировке. Для проведения игр с преодолением собственного веса используются: гимна ...