Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Альтернативные школы
Количество альтернативных школ в Швеции сравнительно невелико. Их возникновение связано с общими для учителей и родителей идеями организации учебного процесса. Нередко в основе обучения в альтернативной школе лежит определенная педагогическая теория, например, педагогическое учение Монтессори и Вал ...

Мышление как психический процесс
Познавательная деятельность начинается с ощущений и восприятий и затем переходит в мышление. Однако любое, даже наиболее развитое мышление всегда сохраняет связь с чувственным познанием, то есть с ощущениями, восприятиями и представлениями. Весь свой «материал» мыслительная деятельность получает то ...

Общая характеристика и методика проведения основных форм внеклассной работы
Одной из распространенных форм внеклассной работы является математический кружок. Вопросы организации, содержания и методики его работы достаточно полно освещены в методической литературе. В ней можно найти рекомендации по построению занятий, перечень тематики и библиографию источников, домашние и ...