Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Организация педагогического процесса в разновозрастных группах
Организация педагогического процесса в разновозрастных группах имеет свои особенности и сложности, требует от педагога знания программ всех возрастных групп, умения сопоставлять программные требования с возрастными и индивидуальными особенностями детей, способности правильно распределять внимание, ...

Ярославская областная общественная организация «Союз пионерских организаций, детских объединений»
В 1991 году, когда пионерское движение перестало существовать во всероссийском масштабе, в Ярославской области начала действовать областная общественная организация «Союз пионерских организаций, детских объединений». «Понятие «пионерская» осталось, у нас и сейчас около пяти организаций пионерских е ...

Схемы – опоры, символы и их роль в обучении английскому языку
В методике преподавания иностранных языков символы широко используются в обучении лексике и грамматике. Символическое изображение слов и даже словосочетаний способствует быстрому и прочному запоминанию изучаемого материала. Функциональное значение символа в обучении грамматике и формировании грамма ...