Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Классификация задач
Информатика изучает широкий спектр вопросов, связанный с тем, что многие разделы данной науки лежат на стыке с другими школьными дисциплинами и это затрудняет классификацию задач. Совокупность упражнений по информатике можно систематизировать на базе традиционной классификации заданий по формирован ...

Методические основы музыкальной стимуляции уроков физкультуры
В последние годы учителя и преподаватели физической культуры все чаще и настойчивее говорят о целесообразности использования на уроках музыки. В небольших пробных опытах энтузиасты музыки с определенным успехом применяли ее и на занятиях по тем видам спорта, которые в обыденном сознании с музыкой п ...

Уровни восприятия художественной литературы младшими школьниками
Картина восприятия одного и того же произведения учениками одного и того же класса будет неоднородной. Как варьируется восприятие литературы младшими школьниками исследовала М.П. Воюшина. Она выделила четыре уровня восприятия художественного произведения, характерных для младших школьников. У ребен ...