Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Особенности формирования представлений старших дошкольников о здоровом образе жизни
Задачи и содержание воспитания детей старшего дошкольного возраста многогранны. Особое место среди них занимают проблемы охраны здоровья детей и их физического воспитания, т.к. от эффективности решения этих проблем зависит полноценное развитие ребенка. У детей старшего дошкольного возраста есть все ...

Характеристика информационной компетенции при изучении общебиологического материала
Главной целью биологического образования является формирование у учащихся целостного представления о живом мире, основанного на приобретенных знаниях, умениях, навыках и способах деятельности. Исходя из этого целями обучения биологии являются следующие: Овладение умениями применять биологические зн ...

Педагогическое руководство театрализованными играми с детьми младшего дошкольного возраста
Много полезных рекомендаций о приемах педагогического руководства театрализованными играми содержится в работах Р.И. Жуковской, Н.С. Карпинской, Л.С. Фурминой. Чтобы разобраться в сути предлагаемых приемов, следует иметь в виду те особенности, которые складываются при формальном отношении педагога ...