Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Развитие педагогической антропологии как самостоятельной области знания
Появление этого совершенно непривычного термина не было случайностью. Поиски в сфере народного образования, переосмысление привычных взглядов на воспитание детей представляли значительный интерес для российского общества того времени. Отмена крепостного права ломала многие стереотипы и вызвала к жи ...

Использование разных видов детской деятельности в развитии памяти детей дошкольного возраста с общим недоразвитием речи
Воспитание и обучение детей осуществляется не только на занятиях, но и в повседневной жизни, во время проведения режимных моментов, во включении детей в различные виды деятельности, на протяжении всего пребывания детей в дошкольном учреждении. Развитие памяти детей в нашем исследовании осуществляло ...

Элементы структуры
В структуру сознания входит ряд элементов, каждый из которых отвечает за определенную функцию сознания: Познавательно - смысловой (знания о дисциплине, формирование совокупности знаний об окружающем мире). Поведенческие (умение реализовывать требования дисциплины, самоконтроль и самоанализ). Эмоцио ...