Определение и простейшие свойства двойного интеграла

. (1)

Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем

(1*)

Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.

Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1).

20. Если умножить интегрируемую в области функцию на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом

Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве

, то получим нужную формулу .

30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем

.

Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве

.

40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то

Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве .

50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство

Это интересно:

Понятие и особенности педагогического конфликта
Педагогическое общение представляет собой коллективную систему социально-психологического взаимодействия. Причем линии общения находятся в постоянном взаимодействии, пересекаются, взаимопроникают и т.п. В педагогической деятельности коллективность общения не просто коммуникативный фон деятельности, ...

Виды анализа наблюдаемого урока
Виды аспектного анализа урока: - педагогический анализ; - психологический анализ; - методический анализ; - гигиенический анализ. Целесообразно рассмотреть компоненты каждого из предлагаемых в литературе видов анализа урока. Психологический аспект анализа урока может быть рассмотрен через следующие ...

Педагогические особенности развития театрально-игровых умений в ДОУ
Проблему кризиса культуры можно решить только на пути достижения гармонии, уникальности и целостности личности. Вот почему сегодня все культуры исследуются на основе общего принципа культуросообразности, а педагогика становится метапедагогикой – теорией, создающей устойчивые культуросообразные норм ...