Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Значение и содержание игровой деятельности в школьном возрасте
В школе особое место занимают такие формы занятий, которые обеспечивают активное участие каждого ученика, повышают авторитет знаний и индивидуальную ответственность за результаты учебного труда. Эти задачи можно успешно решать через технологию игровых форм обучения. Игра только внешне кажется безза ...

Методика проведения уроков работы с природным материалом глиной
Перспективно-тематический план раздела «Работа с глиной» в 2 классе Тема и краткое содержание урока Образовательная цель урока Развивающая цель урока Воспитательная цель урока Тип урока Методы обучения Инструменты и приспособления Свойства глины и способы ручной лепки. Беседа. Мультимедийная презен ...

Модель идеального воспитательно-образовательного учреждения К.Н. Вентцеля и опыт ее практической реализации
Практическому воплощению идей свободного воспитания в жизнь призваны содействовать воспитательно-образовательные учреждения нового типа, - "Дома Свободного Ребенка". Цель создания такого учреждения, - "прогрессирующее освобождение ребенка от внешнего и внутреннего гнета, предоставлен ...