Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатиричная системы счисления
Цель: повторить материал 8-го класса по данным системам счисления, а также рассмотреть материал с другой точки зрения, нежели с точки зрения базового курса информатики. Задачи: – повторить и изучить материал по системам счисления 8-го класса на более высоком уровне. – развитьпрактические навыки реш ...

Возрастные особенности детей раннего возраста
В возрастной психологии период жизни ребенка от одного года до трех лет называют ранним возрастом или периодом раннего детства. В этом возрасте ребенок осваивает общественно-выработанные способы восприятия окружающих его предметов. Первоначально это происходит в непосредственном общении и взаимодей ...

Организация работы над проблемой школы
Проблема выявляет сущность противоречий, имеющихся в образовательной системе школы. Противоречие – это несоответствие между желаемым и имеющимся результатом, состоянием (например, образовательного процесса). Научно выявленная и сформулированная проблема позволяет поставить научно обоснованные задач ...