Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Изучение психологического климата в группе
Цель: Изучить состояние психологического климата в группе детей. Социометрия. Анализ результатов Количество положительных выборов, полученных каждым: 4 детей – 3 выбора, 3 детей – 2 выбора, 2 детей – 1 выбор. 2. Количество изолированных детей, т. е. детей: 1 ребенок. 3. Количество отверженных детей ...

Историко-педагогический анализ развития гражданского воспитания школьников
В России содержание понятия «гражданин» менялось на протяжении длительного периода и в настоящее время в педагогической литературе не всегда можно найти его четко обозначенный смысл. Это можно объяснить тем, что гражданское общество в нашей стране находится в стадии становления и данное понятие инт ...

Формирование связной речи в онто- и дизонтогенезе
Исследованиям развития речи, и в частности связной посвящены многие работы как в области психологии и психолингвистики, нейропсихологии и логопедии. В них рассматривается, в частности, особенности овладения детьми грамматическим строем родного языка, синтаксическими средствами построения высказыван ...