Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Феномен эгоцентризма в исследованиях отечественных и зарубежных психологов
Понятие эгоцентризма сформулировано в работах Ж. Пиаже, который описал проблему как определённую интеллектуальную позицию по отношению к миру, развивающуюся по мере процесса познания ребёнком себя и окружающего в динамике собственного развития, неразрывно связанного с внешними изменениями и воздейс ...

Опыт работы социального педагога с детьми из неполных семей
Задачи этого параграфа: Проанализировать опыт работы социального педагога с детьми младшего школьного возраста из неполных семей в общеобразовательном учреждение на зарубежном уровне. Проанализировать опыт работы социального педагога с детьми младшего школьного возраста из неполных семей в общеобра ...

Основные эколого-химические понятия
Большое влияние на учебно-воспитательный процесс оказывает связь обучения природоведению, биологии, географии и химии с охраной природы. На школы возлагается особая ответственность за воспитание у подрастающего поколения бережного отношения к природным богатствам Родины. Поэтому теоретическое изуче ...