Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Становление христианской религии и истоки христианских сект
Первый период возникновения христианства отмечен ожесточенной борьбой мелких сект, в ходе кт формировались христианское вероучение, ритуалы, организация. В послании многих апостолов веры христовой говорится о "лжеучителях, которые разоряли дело Божье". Эти "лжеучители", как гово ...

Задачи детского сада по ознакомлению детей с произведениями и фольклорным жанром
Искусство слова отражает действительность через художест­венные образы, показывает наиболее типичное, осмысливая и обобщая реальные жизненные факты. Это помогает ребенку позна­вать жизнь, формирует его отношение к окружающему. Художе­ственные произведения, раскрывая внутренний мир героев, застав­ля ...

Методические рекомендации по использованию информационных технологий на практических занятиях
Осуществление компьютерного обучения на базе новых информационных технологий является одним из важных направлений совершенствования профессиональной подготовки будущих педагогов По теме «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных» создано электронное по ...