Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Педагогические идеи преподавания функциональной зависимости в начальной школе
В течение нескольких столетий понятие функции изменялось и совершенствовалось. Необходимость изучения функциональной зависимости в школьном курсе математики начальной школы была в центре внимания педагогической печати уже со второй половины XIX века. Большое внимание этому вопросу уделили в своих р ...

Трудности овладения грамматической стороной речи на иностранном языке
Даже после продолжительной отработки некоторые учащиеся не могут узнать или вспомнить форму того или иного времени, способа образования сравнительной степени прилагательных и т.д. Трудно проанализировать все причины, лежащие в основе подобного состояния знаний, но в каких-то ситуациях причина кроет ...

Психолого-педагогическая характеристика дошкольников со стёртой дизартрией
Дизартрия – нарушение произносительной стороны речи, обусловленное недостаточностью иннервации речевого аппарата. Дизартрии относят к тяжёлым речевым расстройствам, при которых страдает не только произношение, но и темп, выразительность, плавность, модуляция, голос и дыхание. Дизартрии связаны с по ...