Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Методы обучения правописанию
Согласно традиции, в начальных классах сложились три направления в обучении правописанию (орфографии); они опираются на определенные закономерности и порождают свои направления и методы. Модель: Закономерности Направления Группы методов Правила орфографии Обозначение фонем буквами Фонемный и буквен ...

Формирование социально-бытовых навыков в условиях детского сада
На четвертом году жизни у ребенка повышаются активность и целенаправленность действий, разнообразнее и координированнее становятся движения. Дети начинают овладевать умениями действовать, намечая цель, но из-за неустойчивости внимания быстро отвлекаются и переходят от одного дела к другому. В младш ...

Значение дидактического наследия Сухомлинского для современной теории и практики обучения
Отличительной особенностью педагогической системы В. А. Сухомлинского явилось создание самоуправляемых воспитательных коллективов, жизнь которых открывала широкие возможности для самореализации и саморазвития личности, проявления ее способностей и дарований. Его воспитательная система строилась на ...