Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатиричная системы счисления
Цель: повторить материал 8-го класса по данным системам счисления, а также рассмотреть материал с другой точки зрения, нежели с точки зрения базового курса информатики. Задачи: – повторить и изучить материал по системам счисления 8-го класса на более высоком уровне. – развитьпрактические навыки реш ...

Феномен владения иностранными языками
«Как преодолеть языковые барьеры между народами?» - этот вопрос волнует человечество уже много столетий. Развитие общественной и государственной жизни, развитие техники, науки и культуры, коротко говоря, сама жизнь поставила перед людьми эту проблему. В настоящее время на земном шаре насчитывается ...

Изучение исходного уровня развития логического мышления младших школьников
Наиболее важное место в структуре всех познавательных психических процессов занимает мышление. К особенностям, определяющим его уровень, относятся типы мышления (эмпирический или теоретический) и различные качества мышления (скорость, глубина, умение выделить существенное, гибкость, обобщенность, о ...