Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Театры в школах, как форма организации творческой деятельности учащихся
В настоящие время, почти в каждой школе есть коллектив, из числа учащихся, занимающийся театральными поставками. В некоторых школах этому уделяется большое внимание, можно сказать даже, что театральные постановки являются частью учебного плана. Занятия театром в школе меньше всего напоминают театра ...

Сочетание различных систем обучения
В 60-е годы большую известность получил план Трампа, названного так по имени его разработчика американского профессора педагогики Л. Трампа. Эта форма организации обучения предполагала сочетание занятий в больших аудиториях (100 - 150 человек) с занятиями в группах по 10-15 человек и индивидуальную ...

Дидактическая эффективность использования ЭВМ при моделировании учебного процесса
Опыт внедрения компьютера в учебный процесс позволил выявить 3 основные проблемы: теория обучения с помощью ЭВМ, технология компьютерного обучения, методика проектирования обучающих программ. Решение проблем первой группы должно опираться на качественно новый анализ основных компонентов деятельност ...