Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

История развития начального и среднего образования
В период средневековья из системы ученичества в Европе зародились цеховые и гильдейские школы, а также школы счёта для детей торговцев и ремесленников, в которых обучение велось на родном языке. В это же время появились городские школы для мальчиков и девочек, где преподавание велось как на родном, ...

Описание диагностики Н.И. Поливановой и И.В. Ривиной
Согласно Н.И. Поливановой и И.В. Ривиной одним из компонентов системного мышления является компонент “оперирование образами”. В их работе приведена диагностика сформированности системного мышления детей 6-9 лет на непредметном материале. Данная диагностика включает в себя методику “Повороты фигур”, ...

Особенности лекционно-семинарская системы обучения
Лекционно-семинарская система обучения имеет следующие функции: Информационную, выражающуюся в передаче учащимся специально отобранного и особым образом структурированного учебного материала. Содержательная сторона уроков обеспечивает формирование системы знаний, подлежащих усвоению учащимися; Миро ...