Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Суммируя последнее неравенство по всем , получим:

.

Так как по условию теоремы существует определенный интеграл

, то (2)

Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .

Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.

Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:

или .

Но по условию теоремы

.

Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла

и справедливость формулы .

Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области

Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:

,

а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл

и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл

,

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

.

Доказательство. Изобразим область (рис. 18).

Пусть .

Заключим область в прямоугольник , где

.

Это интересно:

Особенности профессионального самоопределения
На современном этапе переосмысливания жизненных ценностей, а также запроса общества на «нужные» и востребованные профессии возникает проблема профессионального самоопределения молодого человека, уже поступившего в высшее учебное заведение и выбравшего определённую специальность. Совпадает ли выбран ...

Порядок написания диссертации
Это важный элемент организации (точнее – самоорганизации) работы над диссертацией. Ф.А. Кузин (Кандидатская диссертация. 1997. С. 41) пишет: «Логическая последовательность диктует раскрытие существа задачи. Пока не изучен первый раздел, нельзя переходить ко второму». Эта рекомендация правильна. Но ...

Классификация театрализованных игр
Существует несколько точек зрения на классификацию игр, составляющих театрально-игровую деятельность. По классификации Л.С. Фурминой - это предметные (действующими лицами являются предметы: игрушки, куклы) и непредметные (дети в образе действующего лица исполняют взятую на себя роль). Классифицируя ...