Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Беседа, как метод активизации мышления учащихся
Беседа – способ обучения, в котором основное место занимают вопросы учителя и ответы учащихся. Учитель ставит вопросы и тем самым побуждает их, опираясь на имеющиеся у них знания, самостоятельно приобретать новые знания. Беседа используется в преподавании с древних времен. Так, древнегреческий фило ...

Методы развития творческих способностей учащихся
Задача формирования творческой личности приобретает сегодня не только теоретический, но и практический смысл. Развитие творческой личности школьника было и остается одной из важнейших задач обучения и воспитания. Размышляя сегодня над этой проблемой, правомерно поставить вопрос: в чем же причины то ...

Программа оптимизации деятельности сельского дома культуры п.Ясногорский по организации детского досуга на 2007 год
Значение досуга в становлении и развитии личности ребёнка очень велико. Он выполняет ряд важных функций в сфере свободного времени, среди которых коммуникативная, творческая, рекреационная, гедонистическая. Посредством досуга происходит приобщение детей к культурным ценностям, традициям и обычаям. ...