Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Методические рекомендации к проведению мероприятия
Специфика школьного мероприятия (беседы) состоит в том, что деятельность преподавателя здесь неотделима от деятельности учащихся: проводя беседу, необходимо одновременно руководить работой слушателей. Готовясь к мероприятию, важно думать не только о том, что и как рассказать и показать, но и о том, ...

Методика проведения речевого обследования детей с ФФНР
Некоторые приемы проверки состояния звукопроизношения. предложенные М.Ф.Фомичевой, Т.В.Вологовец, Е.Н.Кутеповой. Ребенка просят: - услышать разницу между правильным и неправильным произношением звука в собственной и чужой речи (неразличение может происходить из-за ослабленного слухового контроля); ...

Функциональная пропедевтика
Пропедевтика (от греч. propaideuo — предварительно обучаю), введение в какую-либо науку, предварительный вводный курс, систематически изложенный в сжатой и элементарной форме. В дидактике под пропедевтикой вообще понимают подготовительный курс, представляющий введение в какую-либо науку или учебный ...