Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Формирование творческой активности у детей среднего школьного возраста в процессе пропедевтики понятия "Фрактал"
Современная российская школа переживает обновление содержания, форм и методов обучения в целях поиска путей наиболее эффективного личностного развития учащихся на основе воспитания потребностей в творчестве, самообразовании, формировании ответственного отношения к процессу учения и в целом к собств ...

Установление зависимости между развитием познавательного интереса и использованием занимательного материала
Планирование исследования Для подтверждения или опровержения гипотезы мы составили план исследовательской работы: 1) подбор диагностического (занимательного) материала; 2) определение контрольной и экспериментальной группы; 3) проведение констатирующего эксперимента с целью определения уровня позна ...

Психолого-педагогические особенности детей старшего дошкольного возраста
Поступление ребенка в школу ставит целый ряд задач перед психологами педагогами в период работы с будущими первоклассниками: - выявить уровень его готовности к школьному обучению и индивидуальные особенности его деятельности, общения, поведения, психологических процессов, которые необходимо будет у ...