Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Общая характеристика использованных в эксперименте психолого-педагогических методов
При подборе диагностического инструментария мы соблюдали следующие требования использования диагностических методик при обследовании детей с нарушениями зрения: Общие требования к характеру стимульного материала 1. Контрастность предъявляемых объектов и изображений по отношению к фону должна быть 6 ...

Лечебная педагогика
Лечебная педагогика – это система лечебно-педагогических мероприятий, имеющих целью предупреждение, лечение и коррекцию различных отклонений в развитии, нервно-психических и соматических нарушений, которые могут привести к стойкой инвалидизации, школьной и социальной дезадаптации. Лечебная педагоги ...

Воспитание в себе таких качеств, как самоуверенности и уверенности в своих действиях и силах
В спорте точнее, чем в любом другом виде деятельности, можно сказать, кто есть кто. Этому способствует, во-первых, достаточно дифференцированная система спортивной классификации: 2 и 1 юношеские разряды; 3, 2, 1 - взрослые, кандидаты в мастера спорта, мастера спорта, мастера спорта международного к ...