Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Эволюция традиционного воспитания в Древнем Дагестане
Проводимая в России реформа образования предполагает всесторонний учет социально-экономических и национальных особенностей развития каждого субъекта РФ и каждого народа, исследование его образовательных и воспитательных традиций. Знание этих особенностей в различные эпохи, их историко-педагогическа ...

Работа по развитию речи учащихся на материале пословиц и поговорок на уроках литературного чтения в начальной школе
Анализ учебников для чтения был направлен на решение следующих задач: - выяснить, какое место занимают пословицы и поговорки в содержании учебного материала (количественный анализ); - определить тематику пословиц (качественный анализ); - определить типы заданий к данным жанрам фольклора, представле ...

Нарушения звукопроизношения при фонетико-фонематическом недоразвитии
Фонетико-фонематическое недоразвитие – нарушение процессов формирование произносительной системы языка у детей с различными речевыми расстройствами вследствие дефектов восприятия и произношения фонем. Фонематический слух является одним из наиболее рано формирующихся сенсорных процессов. Как свидете ...