Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Олигофренопедагогика
Олигофренопедагогика (от греч. oligos - малый, phren - ум и педагогика), отрасль дефектологии, разрабатывающая проблемы воспитания и обучения, пути коррекции недостатков психофизического развития умственно отсталых детей, а также вопросы их трудовой подготовки. Первые попытки воспитания и обучения ...

Секты в царской России. Положение сект в XX веке
Сведения о самозваных "Христах", призывавших крестьян на борьбу за "истинную веру", известны со времени крещения Руси. Религиозное разномыслие появляется в России вместе с православием. Вместе с православием на Русь проникают и его спутники - ереси. По разным источникам, сектант ...

Габаритные показатели детей 7 - 15 лет, не занимающихся спортом
В качестве основных показателей для исследования оценки физического развития детей 7 - 15 лет, не занимающихся спортом, были взяты длина тела, масса тела и обхват грудной клетки. Эти показатели являются наиболее видимыми в процессе развития и легко подвергаются измерениям и анализ. В ходе решения п ...