Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Феномен внимания в психологии
Поток информации, расширение человеческих контактов, развитие многообразных форм массовой культуры, рост темпа жизни приводят к увеличению объема знаний, необходимых для жизни современному человеку. Дети, начинающие обучаться в школе, чаще всего страдают от рассеянности или неразвитости своего вним ...

Роль слуха в становлении речи
Одним из важнейших факторов речевого развития является полноценное восприятие вербальных акустических сигналов, которое обеспечивается нормальным функционированием слухового анализатора. Изучением этого вопроса занимались М.Е. Хватцев, М.А. Пискунов, Н.И. Жинкин и др. В процессе слухового восприяти ...

Значение пословиц и поговорок в развитии речи учащихся младших классов
Пословицы и поговорки, созданные русским народом, составляют неоценимое богатство русского языка. Знакомство с ними в школе развивает мышление учащихся, прививает любовь к родному языку, повышает культуру речи, способствует лучшему усвоению грамматики и более глубокому изучению литературы, обогащае ...