Определение и простейшие свойства двойного интеграла

Введем вспомогательную функцию

Функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы:

1) интегрируема в области , так как

2) интегрируема в области , так как =0.

На основании одного из свойств двойного интеграла:, и условия, что функция интегрируема на области , получаем:

.

По условию теоремы для всех существует определенный интеграл , так как существует каждый из трех определенных интегралов справа.

Действительно, на отрезках и областей вне области значение функции равно нулю.

Следовательно, первый и третий интегралы существуют и равны нулю, а второй интеграл существует по условию теоремы, так как в области . Следовательно, .

Таким образом, для функции выполняются все условия предыдущей теоремы.

Значит, и двойной интеграл от функции –может быть сведен к повторному: .

Замечание. Если в данной теореме поменять ролями переменные х и у, то теорема будет утверждать существование следующего повторного интеграла: .

2.3 Замена переменных в двойном интеграле

Преобразование областей при регулярных отображениях

Этот раздел посвящен задаче преобразования двойного интеграла

с помощью замены переменных вида .

Окажется, что и удобно рассматривать как компоненты отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами в координатную плоскость с координатами .

Это интересно:

Социальные ценности студентов колледжа
"Человек - это самоценность, абсолютная ценность. Он является субъектом ценностей и ценностного отношения, и сама постановка вопроса о ценностях вне человека лишается смысла, если, конечно, не впадать в мистические спекуляции". Так говорил Кант. Социальные ценности - это нормы жизни, кото ...

Особенности нетрадиционных уроков
Сегодня всё большее внимание уделяется человеку как личности – его сознанию, а также высоко развитому интеллекту и интеллектуальному потенциалу. Соответственно, не вызывает сомнения чрезвычайная важность, острая необходимость такой подготовки подрастающего поколения, при которой среднюю школу оканч ...

Рабочий план диссертационного исследования
Для диссертанта главным повседневным контролером работы над диссертацией является разработанный им рабочий план диссертации. Рабочий план – это подробный перечень вопросов по теме каждой структурной части диссертации, это совокупность «элементарных», то есть более нераздробленных, доведенных до пре ...