Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
Находим частные производные второго порядка в точке :
и составляем определитель
Исходя из достаточного условия существования локального экстремума, делаем вывод:
, следовательно, точка является точкой локального экстремума;
Так как , то в точке функция имеет локальный минимум.
Теперь узнаем значение исходной функции в точке , которое и будет являться наименьшим значением функции
Ответ:
Особенно стоит заострить внимание на алгоритме нахождения локального экстремума, а так же на том, что определяем экстремум на всей области существования функции.
Надо так же рассказать студентам необходимое и достаточное условие существование функции трех переменных.
1. Необходимое условие
2. В достаточном условии меняется только определитель
,
а условия существования, максимума и минимума остаются без изменений с поправкой на количество переменных.
Следующей задачей преподавателя является ответ на вопросы студентов. После этого переходим к другому примеру.
Он разбивается на несколько этапов и решается двумя студентами. Первый проверяет необходимое условие существования экстремума и находит стационарные точки, второй – достаточное условие, точки максимума и минимума, максимальные и минимальные значения функции. Решение примера осуществляется при активной помощи преподавателя.
Исследовать на экстремум функцию
.
Решение
Проверим выполнение необходимого условия существования экстремума функции. В результате чего получим стационарные точки.
Находим частные производные и составляем систему уравнений
;
Решим отдельно уравнение . Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, т.е. . Пусть , тогда исходное уравнение примет вид квадратного трехчлена . Используя теорему, обратную теорему Виета, получаем корни уравнения .
Таким образом получаем: подставляя полученные значения в систему получаем четыре стационарные точки:
Используя теорему о достаточном условии существования экстремума функции двух переменных, составляем определитель и находим точки максимума и минимума.
Найдем производные второго порядка:
Это интересно: