Методические рекомендации по использованию информационных технологий на практических занятиях

Решение

a) Первый способ (через функцию одной переменной).

1. Выразим одну переменную через другую в уравнении связи .

2. Подставим в исходную функцию, получили функцию одной переменной: .

3. Используя методику нахождения экстремума функции одной переменной, найдем первую производную функции по переменной . Приравняем ее к нулю. Тем самым найдем стационарные точки первого рода: . Отсюда - стационарная точка 1-го рода.

4. Найдем вторую производную функции , и найдем ее значение при : , следовательно, в точке функция одной переменной принимает максимальное значение. Находим значение из уравнения связи: .

Следовательно, точка - точка максимума для исходной функции, и он равен .

б) Второй способ.

1. Рассмотрим функцию Лагранжа: .

2. Найдем локальный экстремум для этой функции. Для этого необходимо, используя необходимое условие существования экстремума функции, вычислить первые частные произвольные функции и решить систему, тем самым найдем стационарные точки: и составляем систему:

Не трудно видеть, что в точке функция достигает наибольшего значения .

Ответ: .

Найти наименьшее и наибольшее значения функций: в треугольнике, ограниченном прямыми .

Решение

1. Изобразим эту область, это треугольник, ограниченный прямыми

Обозначим его АВС.

2. Найдем локальный экстремум функции .

Используя необходимое условие существования локального экстремума функции двух переменных, находим стационарные точки.

Находим и составляем систему:

- стационарная точка, и отмечая ее на графике, оцениваем принадлежность ее области АВС. Она не принадлежит области. Следовательно, она не рассматривается, так как не удовлетворяет условиям:

.

3. Исследуем функцию на границах области.

а) Рассмотрим ВС. На этой прямой переменная принимает значение 1. Подставляя значение 1 в исходную функцию, получаем функцию одной переменной и находим ее производную. Это необходимо для исследования функции на экстремум: . Приравниваем первую производную к нулю, тем самым находим точку, подозрительную на экстремум, и вычисляем значение функции в этой точке: Точка не принадлежит области.

Это интересно:

Самостоятельность как первое активное проявление индивидуальной свободы ребенка
По мнению М. Монтессори, человек не может быть свободен, если он несамостоятелен. Поэтому первые активные проявления индивидуальной свободы ребенка должны быть направляемы так, чтобы в этой активности вырабатывалась его самостоятельность. Маленькие дети начинают требовать самостоятельности уже с мо ...

Особенности дидактики дошкольного учреждения в процессе формирования математической подготовки
Современная образовательная стратегия ориентирует дошкольных работников на целенаправленное конструирование и выстраивание обучения на основе единства процессов социализации и индивидуализации развивающейся личности. Основным требованием организации образовательной работы становится утверждение суб ...

Процесс формирования коллектива
Учение А.С. Макаренко содержит подробную технологию поэтапного формирования коллектива. Он сформулировал закон жизни коллектива: движение – форма жизни коллектива, остановка – форма его смерти; вычленил этапы (стадии) развития коллектива. Стадии формирования коллектива. Становление коллектива: колл ...