Методические рекомендации по использованию информационных технологий на практических занятиях

Решение

a) Первый способ (через функцию одной переменной).

1. Выразим одну переменную через другую в уравнении связи .

2. Подставим в исходную функцию, получили функцию одной переменной: .

3. Используя методику нахождения экстремума функции одной переменной, найдем первую производную функции по переменной . Приравняем ее к нулю. Тем самым найдем стационарные точки первого рода: . Отсюда - стационарная точка 1-го рода.

4. Найдем вторую производную функции , и найдем ее значение при : , следовательно, в точке функция одной переменной принимает максимальное значение. Находим значение из уравнения связи: .

Следовательно, точка - точка максимума для исходной функции, и он равен .

б) Второй способ.

1. Рассмотрим функцию Лагранжа: .

2. Найдем локальный экстремум для этой функции. Для этого необходимо, используя необходимое условие существования экстремума функции, вычислить первые частные произвольные функции и решить систему, тем самым найдем стационарные точки: и составляем систему:

Не трудно видеть, что в точке функция достигает наибольшего значения .

Ответ: .

Найти наименьшее и наибольшее значения функций: в треугольнике, ограниченном прямыми .

Решение

1. Изобразим эту область, это треугольник, ограниченный прямыми

Обозначим его АВС.

2. Найдем локальный экстремум функции .

Используя необходимое условие существования локального экстремума функции двух переменных, находим стационарные точки.

Находим и составляем систему:

- стационарная точка, и отмечая ее на графике, оцениваем принадлежность ее области АВС. Она не принадлежит области. Следовательно, она не рассматривается, так как не удовлетворяет условиям:

.

3. Исследуем функцию на границах области.

а) Рассмотрим ВС. На этой прямой переменная принимает значение 1. Подставляя значение 1 в исходную функцию, получаем функцию одной переменной и находим ее производную. Это необходимо для исследования функции на экстремум: . Приравниваем первую производную к нулю, тем самым находим точку, подозрительную на экстремум, и вычисляем значение функции в этой точке: Точка не принадлежит области.

Это интересно:

Основные элементы современной педагогической системы, моделируемые в программе
Поскольку учебная программа является эскизной информационной моделью определенной педагогической системы, то в ней, в принципе, должны быть отображены такие элементы системы, как цели обучения и воспитания, реализуемые изучением данного учебного предмета, раскрыто содержание предмета, которое напра ...

Психокоррекционные разработки для устранения ошибок
По результатам исследования были проведены родительские собрания на тему «Правила общения с ребёнком». Изложенные далее правила были зачитаны и обсуждены на этих собраниях. Можно выражать свое недовольство отдельными действиями ребенка, но не ребенком в целом. Можно осуждать действия ребенка, но не ...

Абсолютная временная шкала измерения знаний
Знания являются абсолютной субстанцией: они либо есть, либо их нет. По крайней мере, так считается в любой форме традиционного оценивания знаний — как на выпускных экзаменах в школах, так и на вступительных экзаменах в вузы. Поэтому интересно проанализировать возможности абсолютных шкал оценки и пр ...