Методические рекомендации по использованию информационных технологий на практических занятиях

Решение

a) Первый способ (через функцию одной переменной).

1. Выразим одну переменную через другую в уравнении связи .

2. Подставим в исходную функцию, получили функцию одной переменной: .

3. Используя методику нахождения экстремума функции одной переменной, найдем первую производную функции по переменной . Приравняем ее к нулю. Тем самым найдем стационарные точки первого рода: . Отсюда - стационарная точка 1-го рода.

4. Найдем вторую производную функции , и найдем ее значение при : , следовательно, в точке функция одной переменной принимает максимальное значение. Находим значение из уравнения связи: .

Следовательно, точка - точка максимума для исходной функции, и он равен .

б) Второй способ.

1. Рассмотрим функцию Лагранжа: .

2. Найдем локальный экстремум для этой функции. Для этого необходимо, используя необходимое условие существования экстремума функции, вычислить первые частные произвольные функции и решить систему, тем самым найдем стационарные точки: и составляем систему:

Не трудно видеть, что в точке функция достигает наибольшего значения .

Ответ: .

Найти наименьшее и наибольшее значения функций: в треугольнике, ограниченном прямыми .

Решение

1. Изобразим эту область, это треугольник, ограниченный прямыми

Обозначим его АВС.

2. Найдем локальный экстремум функции .

Используя необходимое условие существования локального экстремума функции двух переменных, находим стационарные точки.

Находим и составляем систему:

- стационарная точка, и отмечая ее на графике, оцениваем принадлежность ее области АВС. Она не принадлежит области. Следовательно, она не рассматривается, так как не удовлетворяет условиям:

.

3. Исследуем функцию на границах области.

а) Рассмотрим ВС. На этой прямой переменная принимает значение 1. Подставляя значение 1 в исходную функцию, получаем функцию одной переменной и находим ее производную. Это необходимо для исследования функции на экстремум: . Приравниваем первую производную к нулю, тем самым находим точку, подозрительную на экстремум, и вычисляем значение функции в этой точке: Точка не принадлежит области.

Это интересно:

Воспитание в обеспеченных семьях
Говорить о специфике воспитания в обеспеченных семьях довольно сложно, так как эта тема практически не освещена в литературе, к тому же доля таких семей в современной России очень не значительна. В такой семье имеются средства для организации эффективного воспитания: комфортная среда для ребенка, в ...

Сущность и значение инновационных школ в системе образования
Слово «инновация» – имеет латинское происхождение. В переводе оно означает – обновление, изменение, ввод чего-то нового, введение новизны. Понятие «нововведение» (инновация) определяется и как новшество, и как процесс введения этого новшества в практику. Само понятие «инновация» – впервые появилось ...

Общие принципы интеграции в эффективной подготовке школьников к безопасной жизнедеятельности
Исходя из того, что ОБЖ – предмет сугубо практический и охватывающий все стороны человеческой деятельности, в планировании преподавания данного предмета в средней школе необходимо учесть связь ОБЖ с другими предметами школьной программы. Использование таких связей позволяет не только усилить положи ...