Методические рекомендации по использованию информационных технологий на практических занятиях

Решение

a) Первый способ (через функцию одной переменной).

1. Выразим одну переменную через другую в уравнении связи .

2. Подставим в исходную функцию, получили функцию одной переменной: .

3. Используя методику нахождения экстремума функции одной переменной, найдем первую производную функции по переменной . Приравняем ее к нулю. Тем самым найдем стационарные точки первого рода: . Отсюда - стационарная точка 1-го рода.

4. Найдем вторую производную функции , и найдем ее значение при : , следовательно, в точке функция одной переменной принимает максимальное значение. Находим значение из уравнения связи: .

Следовательно, точка - точка максимума для исходной функции, и он равен .

б) Второй способ.

1. Рассмотрим функцию Лагранжа: .

2. Найдем локальный экстремум для этой функции. Для этого необходимо, используя необходимое условие существования экстремума функции, вычислить первые частные произвольные функции и решить систему, тем самым найдем стационарные точки: и составляем систему:

Не трудно видеть, что в точке функция достигает наибольшего значения .

Ответ: .

Найти наименьшее и наибольшее значения функций: в треугольнике, ограниченном прямыми .

Решение

1. Изобразим эту область, это треугольник, ограниченный прямыми

Обозначим его АВС.

2. Найдем локальный экстремум функции .

Используя необходимое условие существования локального экстремума функции двух переменных, находим стационарные точки.

Находим и составляем систему:

- стационарная точка, и отмечая ее на графике, оцениваем принадлежность ее области АВС. Она не принадлежит области. Следовательно, она не рассматривается, так как не удовлетворяет условиям:

.

3. Исследуем функцию на границах области.

а) Рассмотрим ВС. На этой прямой переменная принимает значение 1. Подставляя значение 1 в исходную функцию, получаем функцию одной переменной и находим ее производную. Это необходимо для исследования функции на экстремум: . Приравниваем первую производную к нулю, тем самым находим точку, подозрительную на экстремум, и вычисляем значение функции в этой точке: Точка не принадлежит области.

Это интересно:

Функциональная пропедевтика на уроках математики в V классе
В V классе можно указать ряд упражнений, в которых учащиеся имеют дело в скрытой форме с переменными величинами. К ним относятся упражнения на изменение суммы, разности, произведения и частного дроби. Например, вопрос, как изменится произведение, если множитель увеличить в 2 раза, связан с изменени ...

Школьное образование
Обязательное школьное образование было введено в Швеции в 1842 году. Но в ее настоящем виде школа существует с 1962 года. Посещение школы обязательно для всех детей, проживающих в Швеции, в возрасте от 7 до 16 лет. С 1991 года с разрешения муниципальных властей стали открываться и классы для шестил ...

Гейдельбергский университет: там, где учился доктор Фауст
Самый старый и самый престижный университет Германии был открыт в 1386 году при активной помощи Папы Римского. Первым был создан теологический факультет, затем юридический и философский. Первым ректором был Марсилиус фон Инген, а профессора приехали из Праги и Парижа. Тогда же первыми студентами Ге ...