Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
Решение
a) Первый способ (через функцию одной переменной).
1. Выразим одну переменную через другую в уравнении связи .
2. Подставим в исходную функцию, получили функцию одной переменной: .
3. Используя методику нахождения экстремума функции одной переменной, найдем первую производную функции по переменной . Приравняем ее к нулю. Тем самым найдем стационарные точки первого рода: . Отсюда - стационарная точка 1-го рода.
4. Найдем вторую производную функции , и найдем ее значение при : , следовательно, в точке функция одной переменной принимает максимальное значение. Находим значение из уравнения связи: .
Следовательно, точка - точка максимума для исходной функции, и он равен .
б) Второй способ.
1. Рассмотрим функцию Лагранжа: .
2. Найдем локальный экстремум для этой функции. Для этого необходимо, используя необходимое условие существования экстремума функции, вычислить первые частные произвольные функции и решить систему, тем самым найдем стационарные точки: и составляем систему:
Не трудно видеть, что в точке функция достигает наибольшего значения .
Ответ: .
Найти наименьшее и наибольшее значения функций: в треугольнике, ограниченном прямыми .
Решение
1. Изобразим эту область, это треугольник, ограниченный прямыми
Обозначим его АВС.
2. Найдем локальный экстремум функции .
Используя необходимое условие существования локального экстремума функции двух переменных, находим стационарные точки.
Находим и составляем систему:
- стационарная точка, и отмечая ее на графике, оцениваем принадлежность ее области АВС. Она не принадлежит области. Следовательно, она не рассматривается, так как не удовлетворяет условиям:
.
3. Исследуем функцию на границах области.
а) Рассмотрим ВС. На этой прямой переменная принимает значение 1. Подставляя значение 1 в исходную функцию, получаем функцию одной переменной и находим ее производную. Это необходимо для исследования функции на экстремум: . Приравниваем первую производную к нулю, тем самым находим точку, подозрительную на экстремум, и вычисляем значение функции в этой точке: Точка не принадлежит области.
Это интересно: