Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
При отыскании экстремумов функции двух переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.
Пусть заданы функция
и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P (x, y), в которой значение функции
является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции
на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.
Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пример №1.
Графиком функции
является верхняя полусфера (рис. 2).
Рис. 2.
Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке
,
лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции
на данной линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.
Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.
Определение 1. Говорят, что , где
имеет в точке
, удовлетворяющей уравнению
, условный или относительный максимум (минимум): если для любой
, удовлетворяющей уравнению
, выполняется неравенство
.
Определение 2. Уравнение вида называется уравнением связи.
Теорема
Если функции и
непрерывно дифференцируемы в окрестности точки
, и частная производная
, и точка
является точкой условного экстремума функции
относительно уравнения связи
, то определитель второго порядка
равен нулю:
Это интересно:
Общение в педагогическом взаимодействии
Взаимодействие является одной из сторон общения (интерактивной). Интерактивная сторона общения, или собственно взаимодействие: от лат. inter (между) + actio (действие) в педагогике, психологии и социологии рассматривается как совместная деятельность, которая представляет собой организованную систем ...
Виды методической продукции
Методисты и педагоги дополнительного образования оформляют результаты своей деятельности в трех основных видах методической продукции: информационно-пропагандистской, организационно-инструктивной прикладной. 1. Информационно-пропагандистская методическая продукция содержит сведения, подлежащие расп ...
Эксперимент по сравнению
итогов усвоения материала на традиционных и нетрадиционных уроках
Качество образования определяется не только количеством и качеством знаний, но и качеством личностного, духовного, гражданского развития подрастающих поколений. И именно в этом его главная общественная ценность. Исследование включает в себя сравнения качества усвоения материала на традиционных и не ...