Условный экстремум функции двух переменных

При отыскании экстремумов функции двух переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.

Пусть заданы функция

и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P (x, y), в которой значение функции

является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции

на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример №1.

Графиком функции

является верхняя полусфера (рис. 2).

Рис. 2.

Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке ,

лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции

на данной линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Определение 1. Говорят, что , где имеет в точке , удовлетворяющей уравнению , условный или относительный максимум (минимум): если для любой, удовлетворяющей уравнению , выполняется неравенство

.

Определение 2. Уравнение вида называется уравнением связи.

Теорема

Если функции и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки , и частная производная , и точка является точкой условного экстремума функции относительно уравнения связи , то определитель второго порядка равен нулю:

Это интересно:

Использование методов воспитания в учебно-воспитательном процессе с учащимися 5 класса
План-конспект урока музыки в 5 классе. Тема четверти: Что было бы с музыкой, если бы не было литературы. Тип урока: Урок углубление в тему. Художественно-педагогическая задача: Познакомить с творчеством Г.Свиридова, формировать духовный мир детей на основе родной культуры. Музыкальный материал: Г.С ...

Технология знаково-контекстного обучения
Исходя из тщательного анализа процесса подготовки специалиста в учебном заведении (колледж, университет), ученый, доктор психологических наук А.А. Вербицкий предложил технологию обучения, назвав ее знаково-контекстной, которая, по его убеждению, может "снять" так называемые "проблемн ...

Использование социально-психологического тренинга для формирования навыков общения дошкольников с ЗПР
Социально-психологический тренинг это теория и практика группового психокоррекционного или психотерапевтического воздействия на людей, рассчитанного на избавление их от каких-либо проблем психологического характера, исправления поведения или улучшения состояния здоровья. Участники СПТ во время заня ...