Условный экстремум функции двух переменных

При отыскании экстремумов функции двух переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.

Пусть заданы функция

и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P (x, y), в которой значение функции

является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции

на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример №1.

Графиком функции

является верхняя полусфера (рис. 2).

Рис. 2.

Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке ,

лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции

на данной линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Определение 1. Говорят, что , где имеет в точке , удовлетворяющей уравнению , условный или относительный максимум (минимум): если для любой, удовлетворяющей уравнению , выполняется неравенство

.

Определение 2. Уравнение вида называется уравнением связи.

Теорема

Если функции и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки , и частная производная , и точка является точкой условного экстремума функции относительно уравнения связи , то определитель второго порядка равен нулю:

Это интересно:

Эмпирическое исследование психолого-педагогического сопровождения профессионального самоопределения старшеклассников
Эмпирическое исследование по изучению эффективности работы психолого-педагогического сопровождения профессионального самоопределения старшеклассников проводилось на базе образовательного пространства г. Усть-Илимска Иркутской области в 2009 учебном году. В экспериментальной работе принимали участие ...

Проблема наркомании в Мурманской области
Анализируя проблему наркомании в городе Мурманске необходимо отметить, что в настоящее время, работа по пресечению распространению наркотиков, противодействию их незаконному обороту, лечению больных наркоманией и их социальной реабилитации на достаточно высоком уровне проводится правоохранительными ...

Балетное творчество
В 1890 году начинается работа Кшесинской в балетной труппе императорских театров, которая стала сложной, наполненной трудными испытаниями и счастливыми минутами триумфа, дорогой к славе. Первые спектакли, первые маленькие роли. Так, в "Спящей красавице" она исполняла различные роли - в пе ...