Условный экстремум функции двух переменных

При отыскании экстремумов функции двух переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.

Пусть заданы функция

и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P (x, y), в которой значение функции

является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции

на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример №1.

Графиком функции

является верхняя полусфера (рис. 2).

Рис. 2.

Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке ,

лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции

на данной линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Определение 1. Говорят, что , где имеет в точке , удовлетворяющей уравнению , условный или относительный максимум (минимум): если для любой, удовлетворяющей уравнению , выполняется неравенство

.

Определение 2. Уравнение вида называется уравнением связи.

Теорема

Если функции и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки , и частная производная , и точка является точкой условного экстремума функции относительно уравнения связи , то определитель второго порядка равен нулю:

Это интересно:

История возникновения и развития педагогических законов и закономерностей
Педагогические знания идут из глубины веков, сначала как опыт, затем – как теоретические обобщения, в наши дни – как неопровержимо действующие закономерности и законы. В первобытном обществе человечество постепенно накапливало практические знания по обучению и воспитанию подрастающих поколений. Вид ...

Военно-спортивный клуб «Патриот» города Тутаева
Подростковый клуб «Патриот» действует при Тутаевском отделении ЯРО Всероссийской общественной организации ветеранов «Боевое братство» более 15 лет. Назвать точную дату создания клуба затрудняется даже председатель организации Борис Шаганц: «Сам по себе клуб существует давно, но до 2000-х в нем было ...

Виды пиломатериалов
Создать деревянные изделия – мебель или токарную деревянную посуду, игрушки или декоративные вазы – может только мастер, хорошо знающий природные особенности дерева, виды лесоматериалов, их возможности, знающий технологию обработки дерева. Непростое это дело, но оно приносит большое творческое удов ...