Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
При отыскании экстремумов функции двух переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.
Пусть заданы функция
и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P (x, y), в которой значение функции
является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции
на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.
Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пример №1.
Графиком функции
является верхняя полусфера (рис. 2).
Рис. 2.
Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке
,
лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции
на данной линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.
Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.
Определение 1. Говорят, что , где
имеет в точке
, удовлетворяющей уравнению
, условный или относительный максимум (минимум): если для любой
, удовлетворяющей уравнению
, выполняется неравенство
.
Определение 2. Уравнение вида называется уравнением связи.
Теорема
Если функции и
непрерывно дифференцируемы в окрестности точки
, и частная производная
, и точка
является точкой условного экстремума функции
относительно уравнения связи
, то определитель второго порядка
равен нулю:
Это интересно:
Физическая подготовленность
Для исследования физической подготовленности школьников использовались достаточно простые, апробированные и доступные для учителя физической культуры методы. В программу исследования физической подготовленности в условиях школы были введены следующие тесты: 1) прыжок в длину с места; 2) прыжок в вы ...
Развитие личности как педагогическая проблема
Одной из сложных и ключевых проблем педагогической теории и практики является проблема личности и ее развития в специально организованных условиях. Она имеет различные аспекты, поэтому рассматривается разными науками: возрастной физиологией и анатомией, социологией, детской и педагогической психоло ...
Динамика изменения габаритных показателей детей 7 -
15 лет, не занимающихся спортом
В ходе решения второй задачи была исследована динамика изменения выбранных нами показателей. Результатом исследования стали результаты, представленные на графике, вертикальная ось которого обозначает: для длины тела и обхвата грудной клетки - см., для веса тела - кг.; а горизонтальная ось указывает ...