Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Понятие экстремума функции двух переменных
Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1). Определение 2. То ...

Идея технологии проблемно-модульного обучения
Непрерывный процесс обновления техники и технологии в условиях современного производства предъявляет высокие требования к подготовке специалиста. Стержневым показателем уровня квалификации современного специалиста является его профессиональная компетентность. В последнее время этот термин стал все ...

Положение о проведении государственных экзаменов по предмету «физическая культура» в общеобразовательных школах
Данное положение разработано на основе рекомендаций Министерства образования РФ. Оно является практической рекомендацией школам по организации и проведению государственных экзаменов по предмету «Физическая культура». Сдача выпускниками 9 и 11 классов дифференцированного зачета может засчитываться к ...