Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Основные методы и приемы работы с задачей в начальной школе
Начальный курс математики раскрывается на системе целесообразно подобранных задач. Значительное место занимает в этой системе текстовые задачи. Текстовая задача — есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситу ...

Итоги мониторинга ВУЗов и их филиалов по Республике Башкортостан
В итоговый перечень мониторинга вошли 502 государственных вузов и 930 филиалов вузов. Неэффективными и нуждающимися в той или иной реорганизации признаны 136 вузов и 450 филиалов. В их число попали и учебные заведения Башкортостана. Это два самостоятельных вуза – БГАУ и УГАЭС, два филиала УГАЭС (Би ...

Сущность гражданского воспитания
Гражданское воспитание – это часть воспитания в целом, одно из его основных направлений. Его сущность и содержание сформулированы в Концепции патриотического воспитания граждан Российской Федерации – это систематическая и целенаправленная деятельность органов государственной власти по формированию ...