Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Роль художественной литературы в речевом развитии детей
Общеизвестно воздействие художественной литературы на умственное и эстетическое развитие ребенка. Велика ее роль и в развитии речи дошкольника. Художественная литература открывает и объясняет ребенку жизнь общества и природы, мир человеческих чувств и взаимоотношений. Она развивает мышление и вообр ...

Пути и средства развития логического мышления
Развитие мышления при изучении математики состоит в формировании у учащихся характерных для этого предмета приемов мыслительной деятельности. При этом важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников помимо алгоритмических умений и навыков, фиксированных в стандартных правилах, формулах ...

Состояние речи больных, перенесших инсульт
Было проведено обследование пациентов с нарушениями речи, перенесших нарушение мозгового кровообращения. Работа проводилась в неврологическом отделении ГУЗ РКДЦ МЗ УР. Было обследовано 10 пациентов. Все пациенты были обследованы после острых нарушений мозгового кровообращения произошедших в разные ...