Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Ранняя диагностика отклонений в развитии
Диагностика отклонений в развитии основывается на знании общих и специфических закономерностей психического развития нормально развивающегося ребенка и детей с различными отклонениями в развитии. Диагностика носит комплексный характер, то есть при ее проведении учитываются данные клинической медици ...

Феномен внимания в психологии
Поток информации, расширение человеческих контактов, развитие многообразных форм массовой культуры, рост темпа жизни приводят к увеличению объема знаний, необходимых для жизни современному человеку. Дети, начинающие обучаться в школе, чаще всего страдают от рассеянности или неразвитости своего вним ...

Характеристика театрализованных игр
Характерными особенностями театрализованных игр являются литературная или фольклорная основа их содержания и наличие зрителей (Л.B. Артемова, Л.В. Ворошнина, Л.С Фурмина и др.). Игра – наиболее доступный ребенку, интересный способ переработки, выражения эмоций, впечатлений (А.В.Запорожец, А.Н.Леонт ...