Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Понятие эстетического воспитания
Эстетическое воспитание – целенаправленный процесс формирования у человека эстетического отношения к действительности. Это отношение с возникновением человеческого общества развивалось вместе с ним, воплощаясь в сфере материальной и духовной деятельности людей. Оно связано с восприятием и понимание ...

Самостоятельность как условие формирования профессиональной компетентности специалиста
Результаты теоретического анализа разработки проблемы профессиональной компетентности специалиста в отечественной психологии показали, что самостоятельность является важной характеристикой при формировании профессиональной компетентности. Самостоятельность известна каждому человеку, и в житейской п ...

Способы выявления уровня литературного развития школьников
Уровень литературного развития младших школьников может быть выявлен с помощью комплексной письменной работы. В ней 4 части: В части 1 выявляется круг чтения ребенка и его потребность в чтении: любимые книги и авторы (нужно обратить внимание, указывает ли ребенок автора книги), предпочтения (стихи ...