Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Теоретическое описание ситуации воспитания
Воспитание как объект педагогических исследований и разработок – фундаментальная категория для педагогической науки. Надежность педагогической науки зависит от того, как мы представляем себе объект ее исследования. Этот объект советская педагогика определяла как «воздействие на психологию воспитуем ...

Актуальность и необходимость гражданского и патриотического воспитания в условиях современной России
Сегодня, когда мы наблюдаем крушение идеалов, нравственных и духовных ориентиров, тема гражданского и патриотического воспитания становится особенно актуальной. Распад СССР и дальнейшая дезинтеграция российского общества оказали влияние на развитие гражданского и патриотического воспитания. Граждан ...

Анализ учебников по математике авторов Н.Я. Виленкина и Л.Г. Петерсон для 5 и 6 классов
В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информ ...