Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Разработка урока английского языка с применением информационно-коммуникационных технологий во 2-ом классе
Тема: Давайте познакомимся! Цели урока: 1.Познакомить детей с новым учебным предметом "Английский язык". 2.Познакомить со странами изучаемого языка. 3.Воспитывать уважение к языку, культуре, традициям, обычаям стран изучаемого языка. 4.Научить приветствовать друг друга и прощаться. 5.Науч ...

Теоретические основы формирования математических представлений детей старшего дошкольного возраста
Методика формирования элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста прошла длительный путь своего развития. Предшественником ее как науки было устное народное творчество. Различные считалки, поговорки, пословиц, загадки, сказки и шутки приобщили детей к счету, формировали п ...

Аграмматическая дислексия
Обусловлена, недоразвитием грамматического строя речи, морфологических и синтаксических обобщений. Наблюдаются изменение падежных окончаний и числа существительных ("из-под листьях", "у товарищах", "кошка" - "кошки"). Неправильное согласование в роде, числе и ...