Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Методические рекомендации по осуществлению образовательного процесса на уроках технологии с использованием дидактических игр
Формирование мотивации учения школьников на уроках технологии является фактором развития всего учебно-воспитательного процесса, проявляясь как в учебной, так и во внеурочной деятельности. Формированию учебной мотивации способствует умелое использование игровых ситуаций и других элементов заниматель ...

Экспериментальное изучение развитие творческих способностей младших школьников средствами цветоведения
Изучение развития творческих способностей младших школьников средствами цветоведения проходило в г. Полоцке в УО «Полоцкая государственная средняя школа №12» в 4 классе. В начале учебного года было проведено исследование развития творческих способностей детей. Для этого я использовала методику Лосе ...

Состояние и основные проблемы системы образования Челябинской области
На 1 января 2006 года в Челябинской области действуют 1503 детских сада различной ведомственной подчинённости, в которых воспитываются 146,1 тыс. детей. Наблюдается рост детей посещающих дошкольные образовательные учреждения. За последние пять лет возросло детей на 14,9 тысяч. Учреждений дополнител ...