Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Формы проявления одаренности
Впервые мысль о выделении данного параметра одаренности была четко сформулирована в тексте "Рабочей концепции одаренности". Авторы предлагают рассматривать детскую одаренность еще в одном аспекте - насколько она в данное время проявлена ребенком. Одаренность, проявляющуюся в деятельности ...

Анализ результатов опытно-экспериментальной работы по формированию познавательного интереса младших школьников
Цель анализа опытно-экспериментальной работы: выявить у учащихся изменения в уровнях сформированности познавательного отношения к математике. С этой целью были проведены те же диагностические процедуры, что и на констатирующем этапе: модифицированная диагностика «Методика с конвертами» Г. И. Щукино ...

Развитие внимания в детском возрасте
Развитие внимания в старшем дошкольном возрасте связано с появлением новых интересов, расширением кругозора, овладением новыми видами деятельности. Старший дошкольник все больше обращает внимание на те стороны действительности, которые раньше оставались вне его внимания. Развитие внимания в онтоген ...