Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
.
Доказательство
1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике
определена неявная функция
.
Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .
2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка
. (2)
3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит
, т.е. . (3)
4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их
, следовательно, при
произвольном . ч.т.д.
Следствие
Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений
, где .
Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.
Пример №2.
Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .
Решение
Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:
.
Составим определитель второго порядка:
.
Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:
,
Это интересно: