Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Аудирование как один из видов речевой деятельности, сущность «Лексических умений аудирования»
Распознавание устной речи, или аудирование, в плане обучения этому виду речевой деятельности, представляет собой сложную и далеко не решенную проблему. А ведь именно аудирование (как об этом говорят отечественные и зарубежные методисты определяет в дальнейшем успех или неуспех всего практического о ...

Основные приемы коррекции представлений умственно отсталых детей об окружающем мире
Одним из важнейших направлений коррекционно-развивающей работы психолога является формирование представлений об окружающем мире. Их недостатки у детей с нарушениями интеллектуального развития общеизвестны. Улучшение качества таких представлений -- одна из предпосылок успешной социализации. При этом ...

Проблемы современного педагогического образования
За последние годы в подготовке педагогических кадров произошли существенные изменения. Сегодня педагогическое образование определяется как «гуманитарное образование, обеспечивающее готовность выпускника к трансляции культуры на основе гуманистически ориентированной профессиональной позиции и профес ...