Условный экстремум функции двух переменных

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2.

Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

Это интересно:

Организационно – методическая работа в ДОУ
К организационно-методической работе относится оформление и ведение документации, помогающей планировать компьютерные игры с учетом их содержания и потенциальных возможностей детей разных возрастных групп. Успех работы во многом зависит от умения перспективно спланировать компьютерные программы с у ...

Приемы обучения иностранному языку
Что же представляют собой приемы любой деятельности? Совершенно очевидно, что это меньшая абстракция, чем метод-способ деятельности, однако большая, чем конкретное действие. Думается, что прием обобщает и типизирует конкретные действия применительно к обучению ИЯ. Это, например, списывание (букв, с ...

Социально-психологическая служба МОУ СОШ № 100 г. Саратова
Социально-психологическая служба МОУ СОШ (муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа) № 100 с 2006 года работает по программе «Профилактика правонарушений несовершеннолетних», разработанной социальными педагогами школы. Цель деятельности социально-психологической ...