Математический смысл действий сложения и вычитания

Длина является величиной характеризующей пространственную протяженность объектов. Тем самым можно выяснить смысл арифметических операций над натуральными числами, рассматриваемые как меры длин отрезков.

Пусть отрезок z состоит из отрезков x и y, и пусть длины этих отрезков при выбранной единице e выражаются натуральными числами c, ⍺, b, т.е. c= m e (z), ⍺ = me (x), b= m e (y). Это означает, что отрезок x состоит из ⍺ отрезков, равных e; отрезок y состоит из b отрезков, равных e. Следовательно, весь отрезок z состоит из ⍺+b отрезков, равных e т.е. me (z) = c = ⍺+b = me (x) +me (y). Таким образом, можно дать определение суммы натуральных чисел:

Суммой натуральных чисел ⍺ и b называется натуральное число ⍺+b, являющееся мерой длины отрезка z, состоящего из отрезков x и y, мерами длин которых являются числа ⍺ и b:

⍺+b= me (z), где z= x+y; me (x) = ⍺; me (y) = b

Существование и единственность суммы натуральных чисел вытекают из существования и единственности меры длины отрезка при выбранной единицы измерения.

Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция сложения целых неотрицательных чисел:

(∀⍺,b ∈ Ne) (⍺+b= b+⍺) - коммутативный закон сложения.

(∀⍺,b, c ∈ Ne) ( (⍺+b) + c = ⍺+ (b+c)) - ассоциативный закон сложения.

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Вычитанием натуральных чисел ⍺ и b называется операция, удовлетворяющая условию: ⍺-b =с тогда и только тогда, когда b+с =⍺.

Число ⍺-b называется разностью чисел ⍺ и b, число ⍺ - уменьшаемым, а число b - вычитаемым.

В начальном обучении математике определение вычитания, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с появления действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях.

С точки зрения количественной теории разностью множеств A и B называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.

Разностью множеств A и B обозначают A \ B. Тогда, по определению, имеем:

A\ B = {x | x ∈ A и x∉ B}.

В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств A \ B называют дополнением множества B до множества A, и обозначают символом B´A.

Пусть B⊂A. Дополнением множества B до множества A называется множество, содержащее все элементы множества A, которые не принадлежат множеству B. A \ B = B´A

Из определения следует, что B´A= {x | x ∈ A и x∉ B}.

Как уже было сказано, в случае, когда B⊂A,

Разностью целых неотрицательных чисел ⍺ и b называется целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условию b+с =⍺.

Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств A, B и C справедливы следующие неравенства:

(A \ B) \ C = (A \C) \ B;

(A U B) \ C = (A \C) U (B \ C);

(A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C);

A \ (B U C) = (A \ B) ∩ (A \C);

5) A \ (B ∩ C) = (A \ B) U (A \C).

Используя определение разности целых неотрицательных чисел, можно дать теоретика - множественное обоснование правил, связывающих операции вычитания:

Правило вычитания числа из суммы:

а) (⍺+b) - с= (⍺-b) +b, если ⍺≥с

б) (⍺+b) - с= ⍺+ (b - с), если b≥с

Чтобы вычесть из суммы число, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Это интересно:

Основные элементы современной педагогической системы, моделируемые в программе
Поскольку учебная программа является эскизной информационной моделью определенной педагогической системы, то в ней, в принципе, должны быть отображены такие элементы системы, как цели обучения и воспитания, реализуемые изучением данного учебного предмета, раскрыто содержание предмета, которое напра ...

Изучение особенностей фонематического восприятия у старших дошкольников с задержкой психического развития
Исследование восприятия устной речи: 1.Исследование состояния звукопроизношения. Осуществлялось общепринятыми в логопедической практике методами. Оценка состояния звукопроизношения: -Правильное произношение всех звуков - 4 балла -Нарушение произношения 1 группы звуков - 3 балла -Нарушение произноше ...

Повышение качества знаний младших школьников посредством индивидуальных заданий на уроках «Окружающий мир»
Решая проблему возможности использования новаторских методологических подходов, при разработке индивидуальных заданий для повышения качества знаний младших школьников мы пришли к выводу, что этому будет способствовать построение индивидуальных заданий по модульному принципу, ибо модульное обучение ...