Математический смысл действий сложения и вычитания

Сложение

Действие сложение и вычитание рассматривается с точки зрения различных теорий: количественной теории, аксиоматической теории и теории измерения величин.

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение "непосредственно следовать за", и понятия "натуральное число" и "предшествующее число".

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу ⍺ прибавить 1, то получим число ⍺´, следующее за ⍺, т.е. ⍺+1=⍺´, и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу ⍺ натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2+3=5, то сумма 2+4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. происходит так потому, что в сумме 2+4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. таким образом, сумму ⍺+b´ можно найти, если известна сумма ⍺+b. Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.

Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

(∀ ⍺ ∈ N) ⍺+1=⍺´

(∀ ⍺, b ∈ N) ⍺+b´= (⍺+b) ´.

Число ⍺+b называется суммой чисел ⍺ и b, а сами числа ⍺ и b - слагаемыми.

Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел ⍺ и b сумма ⍺+b - единственна. другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственна ли она?

С точки зрения количественной теории сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств.

Если A и B - конечные множества и A ∩ B = Ø, то m (A U B) = m (A) +m (B). Именно этот факт положен в основу определения суммы целых неотрицательных чисел, где m (A) - это численность множества A;

m (B) - это численность множества B.

Суммой целых неотрицательных чисел ⍺ и b называется целое неотрицательное число ⍺+b, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств A и B таких, что m (A) = ⍺, m (b) =b.

⍺+b = m (A U B), где ⍺= m (A); b = m (B); A ∩ B = Ø

Число ⍺ и b при этом называются слагаемыми.

Операция, с помощью которой по данным целым неотрицательным числам ⍺ и b находится целое неотрицательное число c, являющееся их суммой, называется сложением.

Коммутативный и ассоциативный законы сложения распространяются на любое конечное число слагаемых.

В начальном курсе математики сложение целых неотрицательных чисел вводится на конкретных примерах и задачах, решение которых связано с необходимостью объединять рассматриваемые множества и пересчитывать элементы в полученном объединении.

При непосредственном сравнении измерения величин можно установить равно они или нет. Если величины не равны, то можно указать, какая из них меньше, а какая больше. Для того чтобы получить более точный результат, необходимо величины измерить. Измерение различных величин, в техническом отношении, носит совершено различный характер. Для дли он один, для масс - он другой, для времени - третий и т.д. Однако в основе любого измерения лежит один и тот же принцип: измеряемый объект сравнивается с эталоном, т.е. с предметом или явлением, величина которого принята за единицу измерения. В результате сравнения получается число, характеризующее измеряемую величину.

Это интересно:

Сущность процесса подготовки детей к школе
Переход к школьному детству, характеризуется серьёзным изменением места детей в системе доступных им отношений и всего образа жизни. В связи с этим необходимо подчеркнуть тот факт, что положение школьников создает особенное моральное направление личности детей. Для них обучение является не просто с ...

Реализация эффективных приемов обучения грамматике на среднем этапе
Любой навык формируется упражнениями. Типы грамматических упражнений определяются целевой установкой. Продуктивные упражнения тренируют определенные действия по выбору модели предложения или по его структурированию в связи с замыслом отправителя речи. Рецептивные упражнения направлены на узнавание ...

Дизайн изделия
В результате выполнения практико-ориентированного проекта «Изготовление детской скамейки», выполнения конструкторского, технологического заданий, обмена учащимися мнениями по вопросу и принятия наиболее рационального решения пришли к выводу, что к мебели для детской комнаты предъявляются повышенные ...