Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Роль агрессии в развитии личности
И.А. Фурманов делит агрессивное поведение детей на две формы: А. Социализированная Дети обычно не имеют психических нарушений, у них низкий моральный и волевой уровень регуляции поведения, нравственная нестабильность, игнорирование социальных норм, слабый самоконтроль. Они обычно используют агресси ...

Общее положение учебной программы. Структура учебной программы 1-4 классов
Общее среднее образование должно обеспечивать условия для интеллектуального, социального, морального и физического развития учащихся, воспитание гражданина-патриота, а в стратегическом плане — заложить базис для формирования демократического общества, признающего образованность, воспитанность, куль ...

Антропологический подход к воспитанию личности
Педагогическая антропология отличается многофакторным подходом к истокам и процессам развития личности. Это предполагает исследование взаимодействия биологических, социальных, духовных факторов в структуре личности. В последние годы в связи с изменением картины мира изменяются и взгляды на человека ...