Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Компьютер : за и против
Современные дети все активнее используют в качестве главных источников информации телевидение, видео, компьютеры, порой в ущерб чтению книг, общению с окружающими людьми, природой, двигательной активности, необходимым для гармоничного развития личности. При работе на компьютере организм человека ис ...

Организация университетов
Руководство Первоначально университет подчинялся специальному представителю духовенства, обычно эта должность называлась канцлер университета. Позднее, уже с 12 в. канцлер или становится выборным главой университета из среды его докторов, как в Оксфорде или же теряет реальную власть, как в Париже. ...

Выявление уровня сформированности навыков чтения у учащихся с нарушением интеллекта 3 класса
Цель данного этапа – выявление исходного уровня сформированности навыков чтения (выразительность, беглость, правильность, сознательность) у детей с интеллектуальной недостаточностью. В эксперименте принимали участие учащиеся 3-го класса (15 человек) специальной (коррекционной) школы VIII вида г. Чи ...