Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Психолого-педагогические особенности подросткового возраста
О подростках пишут на страницах журналов, в серьёзных монографиях публикуются результаты исследований вкусов, интересов, потребностей подрастающего поколения. О них думают, спорят, заботятся в семье и школе. Сегодня подростки не такие, какими были вчера. И для того, чтобы их действительно воспитыва ...

Содержание компьютерного обучения русскому языку
В настоящее время принято выделять следующие основные направления внедрения компьютерной техники в образовании: использование компьютерной техники в качестве средства обучения, совершенствующего процесс преподавания, повышающего его качество и эффективность; использование компьютерной техники в кач ...

Международное миротворческое движение «Харитоновцы»
Движение возникло в 2006 году и было названо в честь нашего земляка, моряка-героя Валерия Харитонова, погибшего в 1961 году на атомной субмарине «К-19». Харитонов стал одним из 8 добровольцев, пожертвовавших жизнью ради предотвращения взрыва на подлодке, который мог послужить сигналом к началу 3-й ...