Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Необходимое условие экстремума функции трех переменных
По аналогии исследуем функцию трех переменных. Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области. Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью , чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство. Если эту окрест ...

Проблема развития познавательной активности в научно-педагогической литературе
Проблема развития познавательной активности школьников — одна из важнейших проблем современной педагогики. Она выступает как первостепенное условие формирования у учащихся потребности в знаниях, овладения умениями интеллектуальной деятельности, самостоятельности, обеспечения глубины и прочности зна ...

Особенности развития речи детей раннего возраста
Уровень современных научных знаний о ребенке раннего возраста позволяет судить о младенчестве с точки зрения уникальности этого периода. Не случайно в последние десятилетия во всем научном мире появился особый интерес к раннему периоду жизни ребенка. Особый интерес вызывает интеллектуальное и позна ...