Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Высшее образование
В Швеции насчитывается около 55 высших учебных заведений, из них 11 университетов. Большинство из них принадлежат государству или региональным муниципалитетам, и только некоторые являются частными. В университетах обучается около 300 тыс. студентов. Высшее образование является самым быстро развиваю ...

Игры для развития гибкости
Гибкость – это способность выполнять движения с большой амплитудой. Гибкость зависит от эластичности мышц, сухожилий и связок. Гибкость проявляется при выполнении всех технических приемов. Поэтому высокая эластичность мышц, сухожилий и связок способствует хорошему ведению игры. Основными средствами ...

Понятие о мультимедийных средствах обучения
Возросшая производительность персональных компьютеров сделала возможным достаточно широкое применение технологий мультимедиа. В переводе с английского multimedia – многокомпонентная среда, которая позволяет использовать текст, графику, видео и мультипликацию в режиме диалога и тем самым расширяет о ...