Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Педагогическое диагностирование младших школьников с ЗПР
В должностные функции учителя не входит квалификация состояния ребенка. Однако это вовсе не означает, что педагогическая деятельность исключает диагностические методы и приемы работы. Ведь прежде чем работать над развитием какого-либо процесса, следует убедиться в необходимости такой работы. Кроме ...

Структура педагогической деятельности
Современные исследования Н.В. Кузьмина, В.А. Сластенина, И.Ф. Харламова, А.И. Щербакова и др. показывают, что в педагогической практике учителя достаточно отчётливо выделяются следующие направления его деятельности. Диагностическая деятельность. Эта деятельность связана с изучением учащихся и опред ...

Психолого-педагогическое сопровождение профессионального самоопределения старшеклассников
Переход к профильному обучению делает актуальной проблему самоопределения, как для ученика, так и для учителя. В первую очередь потому, что ставит перед каждым учащимся проблему выбора профиля обучения и потому, что приводит к необходимости изменения структуры и содержания учебного процесса. Суть э ...