Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Анализ взаимоотношений в семьях воспитывающих нормально-видящих детей и детей с нарушением зрения
Для изучения родительского отношения нами был использован тест-опросник родительского отношения А.Я. Варга, В.В. Столина, содержащий 5 шкал. Авторами предложена шкала процентильного ранга, что позволяет проводить сравнительный анализ с результатами других тестов. Процентильный ранг указывает на то, ...

Этапы самовоспитания
Процесс самовоспитания включает в себя несколько взаимосвязанных этапов. 1. Первый этап - принятие решения. Все начинается с принятия твердого решения о необходимости личностного самосовершенствования. Без этого важного элемента невозможно осуществление целенаправленного самовоспитания. Затем следу ...

Урок по теме «Полимеры» в 9-х классах
Цель урока: познакомить учащихся со способом получения поливинилхлорида и возможностями его применения, а также обобщить знания учащихся о высокомолекулярных соединениях. Задачи обучения: сформировать понятие полимеры, расширить представление о способах получения, свойствах и способах применения ра ...