Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Освоение интонационных структур
При изучении формирования речи основной акцент делается на вопросы, касающиеся последовательности овладения ребенком системой родного языка, и механизмы, лежащие в основе формирования языковой специфичности. Становление интонационной системы является одним из аспектов овладения звуковой стороной яз ...

История в датах и цифрах
Историю невозможно изучать без знания дат, а они могут быть представлены с помощью различных средств наглядности. Методисты давно обращали внимание на проблему изучения хронологии и связывали ее с наглядными средствами обучения. Так, И.В.Гиттис писала о том, что хронологические даты — это «вехи», « ...

Специфика развития познавательной активности детей старшего дошкольного возраста
Как правило, к достижению старшего дошкольного возраста (6–6,5 лет) у большинства детей формируются интеллектуальные возможности для обучения в школе. Это проявляется в том, что у дошкольников существенно возрастают возможности умственной деятельности. Они довольно хорошо ориентируются в окружающей ...