Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Характеристика нарушения звукопроизношения при ФФНР
По данным исследований Р.М.Боскис, Р.Е.Левиной, Г.В.Чиркиной, Т.В.Тумановой состояние звукопроизношения этих детей характеризуется следующими особенностями: 1. Отсутствие в речи тех или иных звуков и замены звуков. Сложные по артикуляции звуки заменяются простыми по артикуляции, например: вместо [c ...

Понятие осложненного поведения подростков, его сущность, признаки и причины появления
Как известно, многим детям и подросткам свойственны какие-то временные отклонения в поведении. Как правило, они легко преодолеваются усилиями родителей, учителей, воспитателей. Но поведение определенной части детей выходит за рамки допустимых шалостей и проступков, и воспитательная работа с ними, с ...

Примеры проведения театрализованных представлений и упражнений и выводы с точки зрения воспитателя
Хорошим примером для того как использовать театральный опыт для развития личностных качеств и коррекции агрессии детей может послужить курс «Творчество» в московской школе №666 под руководством Ю. Колчеева. Курс «Творчество» нацелен не на то, чтобы научить детей приемам и методам театрального искус ...