Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Описание содержания работы по использованию компьютерных технологий в процессе обучения русскому языку
Целью формирующего этапа эксперимента является: формирование знаний и умений, расширение кругозора и развитие интеллектуально-речевых умений через использование учебной компьютерной программы «Семейный наставник «, апробирование тестовых заданий с целью выявления успеваемости учащихся и умения выпо ...

Педагогические аспекты театрально-игровой деятельности дошкольников
С развитием системы общественного дошкольного воспитания театр прочно вошел в жизнь детей дошкольного возраста. Караманенко Т. Н. и Караманенко Ю. Г. разработали одно из первых и наиболее популярных пособий для воспитателей по использованию разных видов кукольного театра. Благодаря выходу этого пос ...

Роль и место способов интеграции в начальной школе
Введение в человеческое сообщество детей с отклонениями в развитии является основной задачей всей системы коррекционной помощи. Социальная интеграция понимается нами как конечная цель специального обучения, направленного на включение индивидуума в жизнь общества. Образовательная же интеграция, явля ...