Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Опытно-экспериментальное исследование социально-педагогической помощи многодетным семьям
Социальная защита населения и механизм ее реализации базируется на конституционно-правовых нормах и международных пактах о правах и свободах человека. Всеобщая Декларация прав человека провозглашает и признает права всех людей на жизнь, свободу и личную неприкосновенность, достоинство, свободу убеж ...

Автоматизированный контроль знаний по методике уточняющих вопросов
Концепция базируется на автоматизации методики уточняющих вопросов, широко используемой в педагогической практике для выявления глубины знаний обучаемого. Относительная важность задаваемых вопросов определяется их весовыми коэффициентами, учитываемыми при подведении результатов тестирования. При по ...

Общие принципы устранения дисграфии
Изучение литературы по проблеме нарушения письма и их коррекции, у учащихся младших классов речевой школы, а также анализ данных констатирующего эксперимента, позволил разработать методику логопедической работы по устранению нарушения письма у данной категории детей. В основу методики коррекционно- ...