Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, – локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

Это интересно:

Феномен владения иностранными языками
«Как преодолеть языковые барьеры между народами?» - этот вопрос волнует человечество уже много столетий. Развитие общественной и государственной жизни, развитие техники, науки и культуры, коротко говоря, сама жизнь поставила перед людьми эту проблему. В настоящее время на земном шаре насчитывается ...

Общеобразовательная школа и выбор профессии
Общее образование - фундамент как специального образования, так и в наше время практической деятельности человека в любой отрасли и профессии. Уже поэтому роль общеобразовательной школы в распределении молодежи по видам занятости должна быть весьма значительной. Другой вопрос - насколько реальные д ...

Содержание, формы и методы интегрированного использования технологических, эстетических и естественнонаучных знаний
Учебная деятельность школьников при интегрированном обучении протекает в различных организационных формах с использованием различных методов. Для того чтобы пронаблюдать реализацию модели интегрированного обучения, рассмотрим 3 занятия по «Технологии». Данные занятия имеют свою специфику, выражаему ...