Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Развитие и формирование комсомольских организаций в СССР
Под воздействием рабочего движения в конце 19 и начале 20 вв. в стране активизировалось студенческое движение. Большевистские организации в высших учебных заведениях помогли партии сплачивать демократическое студенчество, пропагандировать идеи марксизма. Большевики вели работу с молодёжью на завода ...

Преддипломное образование
С 1993 г. всё преддипломное обучение ведётся в форме курсов. Для программ, ведущих к получению диплома, студенты могут совмещать несколько курсов для выработки собственной учебной программы. Все курсы и академические программы должны соответствовать учебному плану, вырабатываемому каждым университе ...

Изучение опыта работы учителя начальной школы по использованию форм и методов формирования коллектива младших школьников
Опытно – экспериментальная работа проходила в муниципальном образовательном учреждении №6. г.Петрозаводск. в 1 «Б» классе. В исследовании участвовало 26 учеников. Возрастной состав класса: 2004 – 2005 года рождения Учитель 1 «Б» класса – Наталья Олеговна, стаж работы в школе 8 лет. Цель исследовани ...