Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Анализ учебников по математике авторов Н.Я. Виленкина и Л.Г. Петерсон для 5 и 6 классов
В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информ ...

Недостатки произношения свистящих звуков у дошкольников с фонетико-фонематическим недоразвитием
Сигматизмом называются дефекты произношения свистящих и шипящих звуков С, З, Ц и Ш, Ж, Ч, Щ. Сигматизм – один из очень распространенных видов неправильного звукопроизношения. В работах отечественных специалистов наблюдается довольно большое количество вариантов как чисто фонематического сигматизма, ...

Предложения и рекомендации по совершенствованию управления
Мы предлагаем обратиться в Правительство России с тем, чтобы новый конкурс среди вузов проходил по квотам, выделенным федеральным округам, так как есть опасность, что вновь 80% вузов-победителей будут московскими. Ректорам вузов необходимо также пересмотреть свою работу, так как критериями оценки в ...