Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Характеристика воспитательной системы гимназии
Экспериментальная гимназия №9 находится по адресу: г.Караганда 12 микрорайон, д.27. В соответствии с целью дипломной работы нам необходимо рассмотреть воспитательную систему в гимназии. Воспитательный процесс в гимназии представляет собой целую систему воспитания и развития на основе синхронно-моду ...

Проблема театрализованной деятельности в дошкольной педагогике
Роль театрализованной деятельности в развитии детей дошкольного возраста отмечают зарубежные и отечественные педагоги. В дореволюционной педагогике вопросами театра занимались Белинский, Гоголь, Герцен, Островский, Ушинский. В советское время: Луначарский, Н.К.Крупская, Макаренко, Станиславский. Оп ...

Особенности развития детей 5-6 лет
Возрастной период от 5 до 7 лет называют периодом "первого вытяжения", когда за один год ребенок может вырасти на 7-10 см. Развитие опорно-двигательной системы ребенка к пяти-шести годам еще не завершено. Эти особенности тренер должен учитывать при проведении гимнастических упражнений, та ...