Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Некоторые локальные и глобальные экологические проблемы
Наша планета окружена воздушной оболочкой - атмосферой, которая распространяется над Землей на 1500-2000 км вверх, что составляет около 1/3 радиуса Земли. Однако эта граница условна, следы атмосферного воздуха обнаружены и на высоте 20000 км. Наличие атмосферы является одним из необходимых условий ...

Практика по внедрению антропологического подхода к воспитанию личности
Практика по внедрению антропологического подхода изучалась и анализировалась на базе МДОУ №14 г. Снежинск. МДОУ «Детский сад комбинированного вида №14», работающий по образовательной системе М. Монтессори в г. Снежинске включает в себя 5 групп. В группах Монтессори ребенок занимается самостоятельно ...

Программа студии вокально-инструментальной музыки
Пояснительная записка Специфика занятий, подбор репертуара, участие в концертной деятельности учитывают желание учащегося, его интерес, возможности, способности, психологические особенности (а так же стартовый уровень знаний). В данной программе заложен большой воспитательный потенциал. Во время об ...