Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Выявление уровня сформированности навыков чтения у учащихся с нарушением интеллекта 3 класса
Цель данного этапа – выявление исходного уровня сформированности навыков чтения (выразительность, беглость, правильность, сознательность) у детей с интеллектуальной недостаточностью. В эксперименте принимали участие учащиеся 3-го класса (15 человек) специальной (коррекционной) школы VIII вида г. Чи ...

Взаимосвязь нравственного и экономического воспитания
«Экономика» буквально означает «искусство ведения домашнего хозяйства». Очевидно, что «искусство ведения домашнего хозяйства» предусматривает и заботу об этом «хозяйстве», его охрану и защиту. Следовательно, уже начиная с дошкольного возраста детям необходимо давать знания о том, что является залог ...

Рекомендации родителям и учителям по осуществлению контроля и регуляции влияния СМИ на социальное развитие ребенка
СМИ способны не только управлять вкусами младших школьников, но и навязывать им свои "идеалы". Ребёнок, ещё не ориентирующийся в современной эстраде, как правило. Выбирает "модных" на сегодняшний день поп-звёзд, которые не редко становятся его жизненным идеалом, определяют музык ...