Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Социально-психологическая служба МОУ СОШ № 100 г. Саратова
Социально-психологическая служба МОУ СОШ (муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа) № 100 с 2006 года работает по программе «Профилактика правонарушений несовершеннолетних», разработанной социальными педагогами школы. Цель деятельности социально-психологической ...

Высшее образование в перспективе XXI столетия
Мир вступил в этап истории, одной из главных примет которого являются перемены, но эти перемены коренным образом отличаются от тех, что происходили в прошлом. Приведя к геополитическим и политическим потрясениям последних десятилетий, которые глубоко изменили положение дел на мировой политической а ...

Особенности развития детей 4-5 лет
В развитии детей 4-5 лет происходит дальнейшее изменение и совершенствование структур и функций систем организма. Темп физического развития остается таким же, как и в предыдущий год. При нормальной двигательной активности рост усиливается, а при гиподинамии ребенок может иметь избыточный вес, но не ...