Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Социальный портрет современной многодетной семьи
Многодетные семьи были наиболее распространены в России в начале ХХ века и составляли основную долю населения страны. Они были достаточно распространены во всех слоях общества: от беднейшего крестьянства до дворян. Это обусловливалось традициями русского народа и православной морали. Рождение детей ...

Самоанализ проведенных учебных и внеучебных занятий
Лекция. 1. Подготовительный этап. Занятие на тему «Эмоциональные процессы. Понятие эмоций» в учебном курсе у студентов является частью целостной системы обучения. При выборе данной темя мною был изучен учебный курс студентов по психологии и темы была выбрана в соответствии с рекомендациями психолог ...

Цели, задачи и методика опытно-экспериментальной работы, содержание и результаты начального этапа
В первой главе нами были рассмотрены теоретические аспекты использования активных методов обучения на уроках математики как средства стимулирования познавательной активности младших школьников с трудностями в обучении, уточнено значение ключевых понятий: познавательная активность, методы и средства ...