Достаточное условие экстремума функции двух переменных

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Это интересно:

Экологические аспекты изучения темы «полимеры» в курсе химии средней общеобразовательной школы
Экологическое образование и развитие школьников – полноценная область знания, познания самого себя, окружающего мира, которая реально воздействует на формирование мировоззренческой компоненты их развития как личностей. Вашему вниманию представляется урок на тему: «Полимеры», наполненный экологическ ...

Выявление уровня развития моторики речи у младших школьников с нарушением интеллекта
Опытно-экспериментальная работа осуществлялась на базе Черновской специальной коррекционной школы-интерната VIII вида г.Читы в первом классе. В классе обучается 18 детей с разным уровнем интеллектуальных нарушений. В экспериментальную группу вошли 8 детей класса с диагнозом – легкая степень умствен ...

Функции ВУЗа как социально ответственного института
Высшее учебное заведение представляет собой юридическое лицо, реализующее в соответствии с лицензией образовательные программы высшего профессионального образования, и традиционно является объектом изучения разных наук: экономических, юридических, социологических, педагогических и других. В совреме ...