Понятие функции. Способы задания функции

Введение в понятия функции – это длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в её приложениях. Этот процесс ведётся по трём основным направлениям:

- упорядочение имеющихся представлений о функции, развёртывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значений, возрастания и т.д. на основе метода координат);

- глубокое изучение отдельных функций и их классов;

- расширение области приложений алгебры за счёт включения в неё идеи функции и разветвлённой системы действий с функцией.

Первоначально понятие функции как аналитического выражения сложилось в первой половине XVIII века в связи с бурным развитием производительных сил. Термин функция ввёл И. Бернулли в 1718 году. Л. Эйлер предложил в 1748 году определение функции как аналитического выражения.

В общем виде определение функции было дано Н.И. Лобачевским в 1834 году. В современной формулировке: «Если каждому допустимому значению переменной величины х соответствует определённое значение переменной величины у, то х называется независимой переменной, а у – функцией от х».

В этой формулировке слово «соответствует» не говорит о виде зависимости переменных величин. Оно может быть задано описанием; например, чтобы находить последовательные цифры при извлечении квадратного корня из положительного числа, имеется определённый алгоритм.

Идея функциональной зависимости находит свое отражение не только в математике, но и в ряде других наук - физике, химии, биологии, медицине, истории, кибернетике. Велика роль функции как мощного аппарата в познании процессов, происходящих в реальном мире. Знание функциональных зависимостей помогает найти ответы на разнообразные вопросы - от расшифровки памятников древности до управления сложнейшими производственными процессами. Наблюдая веками явления природы, человек замечал соответствие между ними. Систематизируя и обобщая устойчивые взаимосвязи в природе, он познал закономерности и учился применять их для объяснения разнообразных явлений природы. Математическими моделями таких закономерностей и являются функции.

Понятия соответствия и однозначного аналитического выражения функции не противопоставляются, второе просто частный случай первого.

Соответственно можно к понятию функции подвести:

1) рассматривая однозначные аналитические выражения зависимостей;

2) дав примеры соответствия между величинами, не записанными аналитически.

Из алгебры аналитические выражения зависимостей у=ах, у=а/х, у=ах+в и другие; из геометрии – формулы площадей и объёмов, в которых зависимость задана тоже аналитически.

Рассмотрим зависимости, заданные не аналитически. Например, можно взять результат наблюдения температуры воздуха:

6 часов: -2о

7 часов: 0о

8 часов: +1о

9 часов: +1,5о

10 часов: +3о

11 часов: +5о

12 часов: +6,5о

13 часов: +7,5о

14 часов: +8о

15 часов: +8,6о

16 часов: +7о

17 часов: +5о

Рассматривая пары значений времени и температуры и устанавливают, что каждому значению времени наблюдения соответствует определённое значение температуры. В данном случае температура – функция времени.

Понятие функции является одним из понятий, отражающих взаимосвязи явлений и предметов. Это одно из важнейших понятий математики, исходное понятие ведущей её области – математического анализа.

Определение: Функцией называется такая зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению x соответствует единственное значение y.

Это интересно:

Физическое развитие детей с 7 до 8 лет
Исходные показатели. В среднем у мальчиков 7 лет длина тела была равна 124 ± 0,54, у девочек - 123,3 ± 0,42 см. Достоверно эти показатели друг от друга не отличались (t = 1,0), что говорит об однородности состава группы мальчиков и девочек. На это уже указывают и величины коэффициентов вариации, от ...

Значение пословиц и поговорок в развитии речи учащихся младших классов
Пословицы и поговорки, созданные русским народом, составляют неоценимое богатство русского языка. Знакомство с ними в школе развивает мышление учащихся, прививает любовь к родному языку, повышает культуру речи, способствует лучшему усвоению грамматики и более глубокому изучению литературы, обогащае ...

Психолого-педагогические особенности детей старшего дошкольного возраста
Поступление ребенка в школу ставит целый ряд задач перед психологами педагогами в период работы с будущими первоклассниками: - выявить уровень его готовности к школьному обучению и индивидуальные особенности его деятельности, общения, поведения, психологических процессов, которые необходимо будет у ...