Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D.

Пусть в этой области функция имеет конечные частные производные, кроме отдельных точек области.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса в этой области найдется точка, в которой функция примет наибольшее и наименьшее значение.

Если эти точки будут внутренними точками области D, то очевидно, в них будет максимум или минимум.

В этом случае интересующие нас точки находятся среди подозрительных точек на экстремум.

Однако наибольшее или наименьшее значение функция может принимать и на границе области D.

Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области D, нужно найти все внутренние точки подозрительные на экстремум, вычислить значение функции в них, затем сравнить со значением функции в пограничных точках области, и наибольшее из всех найденных значений будет являться наибольшим в замкнутой области D.

Метод отыскания локального максимума или минимума рассматривался ранее в п. 1.2. и 1.3.

9. Остается рассмотреть метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на границе области.

10. В случае функции двух переменных область обычно оказывается ограниченной кривой или нескольких кривыми.

11. Вдоль такой кривой (или нескольких кривых) переменные и либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра.

12. Таким образом, на границе функция оказывается зависящей от одной переменной.

13. Метод отыскания наибольшего значения функции одной переменной был рассмотрен ранее.

14. Пусть граница области D задана параметрическими уравнениями:

.

Тогда на этой кривой функция двух переменных будет представлять собой сложную функцию от параметра : . Для такой функции наибольшее и наименьшее значение определяется по методике определения наибольшего и наименьшего значения для функции одной переменной.

Это интересно:

Формирование религиозной парадигмы образования
В религиозном обществе религия заменила прежние смыслы отношений традиционного общества, то есть три константы – рождение, вступление в брак и рождение детей, и последняя, смерть, которые были тесно связаны с образованием. В родовом обществе индивид до социальной полноценности (то есть до осуществл ...

Интервью с заместителем директора о сознательности и дисциплине студентов
Нами было взято небольшое интервью с заместителем директора ГАОУ СПО "Казанский медицинский колледж" Мусиной Лилией Маратовной: Вопрос: Какие качества должны иметь студенты и выпускники колледжа? Лилия Маратовна: Студенты должны иметь чистую совесть, чистые помыслы, потому что больные раз ...

Упражнения для развития подвижности губ
1. Покусывание и почесывание сначала верхней, а потом нижней губы зубами. 2. Улыбка - Трубочка. Вытянуть вперед губы трубочкой, затем растянуть губы в улыбку. 3. Пятачок. Вытянутые трубочкой губы двигать вправо-влево, вращать по кругу. 4. Рыбки разговаривают. Хлопать губами друг о друга (произносит ...