Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D.

Пусть в этой области функция имеет конечные частные производные, кроме отдельных точек области.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса в этой области найдется точка, в которой функция примет наибольшее и наименьшее значение.

Если эти точки будут внутренними точками области D, то очевидно, в них будет максимум или минимум.

В этом случае интересующие нас точки находятся среди подозрительных точек на экстремум.

Однако наибольшее или наименьшее значение функция может принимать и на границе области D.

Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области D, нужно найти все внутренние точки подозрительные на экстремум, вычислить значение функции в них, затем сравнить со значением функции в пограничных точках области, и наибольшее из всех найденных значений будет являться наибольшим в замкнутой области D.

Метод отыскания локального максимума или минимума рассматривался ранее в п. 1.2. и 1.3.

9. Остается рассмотреть метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на границе области.

10. В случае функции двух переменных область обычно оказывается ограниченной кривой или нескольких кривыми.

11. Вдоль такой кривой (или нескольких кривых) переменные и либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра.

12. Таким образом, на границе функция оказывается зависящей от одной переменной.

13. Метод отыскания наибольшего значения функции одной переменной был рассмотрен ранее.

14. Пусть граница области D задана параметрическими уравнениями:

.

Тогда на этой кривой функция двух переменных будет представлять собой сложную функцию от параметра : . Для такой функции наибольшее и наименьшее значение определяется по методике определения наибольшего и наименьшего значения для функции одной переменной.

Это интересно:

Социальные ценности студентов колледжа
"Человек - это самоценность, абсолютная ценность. Он является субъектом ценностей и ценностного отношения, и сама постановка вопроса о ценностях вне человека лишается смысла, если, конечно, не впадать в мистические спекуляции". Так говорил Кант. Социальные ценности - это нормы жизни, кото ...

Формирование умения самостоятельно есть и пить
Здесь выделяется два аспекта: во-первых, ребенку нужно научиться справляться с той пищей, которую едят все, и во-вторых, научиться делать это без посторонней помощи. Овладеть этими умениями очень важно, поскольку они помогут ребенку сохранять чувство собственного достоинства, быть независимым и хор ...

Взаимодействия семьи и дошкольного образовательного учреждения в процессе социализации ребенка
Многочисленные исследования в области педагогики показали: дети способны адаптироваться в коллективе (детский сад, начальная школа), если создать необходимые условия, как для самого ребенка, так и для его семьи. Социальный опыт ребенка - это не только его возраст, но и тот мир, в котором он растет, ...