Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D.

Пусть в этой области функция имеет конечные частные производные, кроме отдельных точек области.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса в этой области найдется точка, в которой функция примет наибольшее и наименьшее значение.

Если эти точки будут внутренними точками области D, то очевидно, в них будет максимум или минимум.

В этом случае интересующие нас точки находятся среди подозрительных точек на экстремум.

Однако наибольшее или наименьшее значение функция может принимать и на границе области D.

Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области D, нужно найти все внутренние точки подозрительные на экстремум, вычислить значение функции в них, затем сравнить со значением функции в пограничных точках области, и наибольшее из всех найденных значений будет являться наибольшим в замкнутой области D.

Метод отыскания локального максимума или минимума рассматривался ранее в п. 1.2. и 1.3.

9. Остается рассмотреть метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на границе области.

10. В случае функции двух переменных область обычно оказывается ограниченной кривой или нескольких кривыми.

11. Вдоль такой кривой (или нескольких кривых) переменные и либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра.

12. Таким образом, на границе функция оказывается зависящей от одной переменной.

13. Метод отыскания наибольшего значения функции одной переменной был рассмотрен ранее.

14. Пусть граница области D задана параметрическими уравнениями:

.

Тогда на этой кривой функция двух переменных будет представлять собой сложную функцию от параметра : . Для такой функции наибольшее и наименьшее значение определяется по методике определения наибольшего и наименьшего значения для функции одной переменной.

Это интересно:

Виды гимнастики и их характеристика
В системе физического воспитания ребенка дошкольного возраста выделяются различные виды гимнастики: общеразвивающая (к ней относятся - основная гимнастика, гигиеническая и др.), гимнастика со спортивной направленностью, включающая в себя элементы, доступные детям и направленные на повышение их обще ...

Функциональная пропедевтика на уроках математики в VI классе
В 6 классе функциональная пропедевтика расширяется. По математике, рассматривая прямую и обратную пропорциональность, дают табличные записи этой функциональной зависимости, формулы у=кх, у=к/х;на уроках математики вводят буквенные обозначения, где под буквой подразумевается любое допустимое значени ...

Определение особенностей развития мелкой моторики ведущей руки. Методика «Дорожки» и методика «Птенчики»
Цель задания: определить особенности развития мелкой моторики. Также решается задача выявления ведущей руки. Стимульный материал: для проведения первой методики - простой карандаш, опросный лист (см. на рисунке ниже, расстояния между краями дорожек 1 см). Для проведения второй методики - коробочка ...