Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D.

Пусть в этой области функция имеет конечные частные производные, кроме отдельных точек области.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса в этой области найдется точка, в которой функция примет наибольшее и наименьшее значение.

Если эти точки будут внутренними точками области D, то очевидно, в них будет максимум или минимум.

В этом случае интересующие нас точки находятся среди подозрительных точек на экстремум.

Однако наибольшее или наименьшее значение функция может принимать и на границе области D.

Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области D, нужно найти все внутренние точки подозрительные на экстремум, вычислить значение функции в них, затем сравнить со значением функции в пограничных точках области, и наибольшее из всех найденных значений будет являться наибольшим в замкнутой области D.

Метод отыскания локального максимума или минимума рассматривался ранее в п. 1.2. и 1.3.

9. Остается рассмотреть метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на границе области.

10. В случае функции двух переменных область обычно оказывается ограниченной кривой или нескольких кривыми.

11. Вдоль такой кривой (или нескольких кривых) переменные и либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра.

12. Таким образом, на границе функция оказывается зависящей от одной переменной.

13. Метод отыскания наибольшего значения функции одной переменной был рассмотрен ранее.

14. Пусть граница области D задана параметрическими уравнениями:

.

Тогда на этой кривой функция двух переменных будет представлять собой сложную функцию от параметра : . Для такой функции наибольшее и наименьшее значение определяется по методике определения наибольшего и наименьшего значения для функции одной переменной.

Это интересно:

Значение игры для всестороннего развития личности ребёнка
Игра - один из тех видов детской деятельности, которой используется взрослыми в целях воспитания дошкольников, обучая их различным действиям с предметами, способам и средствам общения. В игре ребёнок развивается как личность, у него формируется те стороны психики, от которых в последствии будут зав ...

Становление экспериментальной системы обучения Л.В. Занкова
Проблема соотношения обучения и развития психики ребенка была в центре внимания Леонида Владимировича Занкова на протяжении всех этапов его научно-исследовательской деятельности. Еще в 20–40-е годы ХХ в., занимаясь изучением психики аномального ребенка, он одновременно исследовал и педагогические у ...

Динамика изменения габаритных показателей детей 7 - 15 лет, не занимающихся спортом
В ходе решения второй задачи была исследована динамика изменения выбранных нами показателей. Результатом исследования стали результаты, представленные на графике, вертикальная ось которого обозначает: для длины тела и обхвата грудной клетки - см., для веса тела - кг.; а горизонтальная ось указывает ...