Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D.

Пусть в этой области функция имеет конечные частные производные, кроме отдельных точек области.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса в этой области найдется точка, в которой функция примет наибольшее и наименьшее значение.

Если эти точки будут внутренними точками области D, то очевидно, в них будет максимум или минимум.

В этом случае интересующие нас точки находятся среди подозрительных точек на экстремум.

Однако наибольшее или наименьшее значение функция может принимать и на границе области D.

Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области D, нужно найти все внутренние точки подозрительные на экстремум, вычислить значение функции в них, затем сравнить со значением функции в пограничных точках области, и наибольшее из всех найденных значений будет являться наибольшим в замкнутой области D.

Метод отыскания локального максимума или минимума рассматривался ранее в п. 1.2. и 1.3.

9. Остается рассмотреть метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на границе области.

10. В случае функции двух переменных область обычно оказывается ограниченной кривой или нескольких кривыми.

11. Вдоль такой кривой (или нескольких кривых) переменные и либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра.

12. Таким образом, на границе функция оказывается зависящей от одной переменной.

13. Метод отыскания наибольшего значения функции одной переменной был рассмотрен ранее.

14. Пусть граница области D задана параметрическими уравнениями:

.

Тогда на этой кривой функция двух переменных будет представлять собой сложную функцию от параметра : . Для такой функции наибольшее и наименьшее значение определяется по методике определения наибольшего и наименьшего значения для функции одной переменной.

Это интересно:

Содержание понятия «связная речь»: психологический и психолингвистический аспекты
Одним из важнейших показателей уровня культуры человека, его мышления, интеллекта является его речь. Человек всю свою жизнь совершенствует речь, овладевает богатствами языка. По определению, А.А. Леонтьева, речь – это вид деятельности человека, реализация мышления на основе использования средств яз ...

Уровни выполнения родителями воспитательной функции
Изучение педагогического опыта позволило выявить недостатки педагогического руководства семейным воспитанием, основными из которых являются: - Недостаточное внимание со стороны администрации школ к вопро сам педагогического руководства; - Слабая теоретическая и практическая подготовленность некотор ...

Особенности игр-драматизаций у детей младшего дошкольного возраста
Цели, задачи и содержание работы с детьми младшего дошкольного возраста. Основные направления развития театрализованной игры состоят в постепенном переходе ребенка от наблюдения театрализованной постановки взрослого к самостоятельной игровой деятельности; от индивидуальной игры и "игры рядом&q ...