Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D.

Пусть в этой области функция имеет конечные частные производные, кроме отдельных точек области.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса в этой области найдется точка, в которой функция примет наибольшее и наименьшее значение.

Если эти точки будут внутренними точками области D, то очевидно, в них будет максимум или минимум.

В этом случае интересующие нас точки находятся среди подозрительных точек на экстремум.

Однако наибольшее или наименьшее значение функция может принимать и на границе области D.

Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области D, нужно найти все внутренние точки подозрительные на экстремум, вычислить значение функции в них, затем сравнить со значением функции в пограничных точках области, и наибольшее из всех найденных значений будет являться наибольшим в замкнутой области D.

Метод отыскания локального максимума или минимума рассматривался ранее в п. 1.2. и 1.3.

9. Остается рассмотреть метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на границе области.

10. В случае функции двух переменных область обычно оказывается ограниченной кривой или нескольких кривыми.

11. Вдоль такой кривой (или нескольких кривых) переменные и либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра.

12. Таким образом, на границе функция оказывается зависящей от одной переменной.

13. Метод отыскания наибольшего значения функции одной переменной был рассмотрен ранее.

14. Пусть граница области D задана параметрическими уравнениями:

.

Тогда на этой кривой функция двух переменных будет представлять собой сложную функцию от параметра : . Для такой функции наибольшее и наименьшее значение определяется по методике определения наибольшего и наименьшего значения для функции одной переменной.

Это интересно:

Обдумывание заголовка
Беря в руки любой текст, читатель должен ставить перед собой задачу выделить главное, т. е. понять, ради чего написан этот текст. Заголовок – это «входная дверь» текста. Мысленная обработка заголовка – первый шаг к уяснению идеи автора. Заголовок настраивает на последующий диалог с текстом, в ходе ...

Взаимосвязь нравственного и экономического воспитания
«Экономика» буквально означает «искусство ведения домашнего хозяйства». Очевидно, что «искусство ведения домашнего хозяйства» предусматривает и заботу об этом «хозяйстве», его охрану и защиту. Следовательно, уже начиная с дошкольного возраста детям необходимо давать знания о том, что является залог ...

Беседа, как метод активизации мышления учащихся
Беседа – способ обучения, в котором основное место занимают вопросы учителя и ответы учащихся. Учитель ставит вопросы и тем самым побуждает их, опираясь на имеющиеся у них знания, самостоятельно приобретать новые знания. Беседа используется в преподавании с древних времен. Так, древнегреческий фило ...