Необходимое условие экстремума функции трех переменных

По аналогии исследуем функцию трех переменных.

Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

,

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство.

Если эту окрестность взять настолько малой, что бы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство , то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные: , то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим, что , сохраняя переменным; тогда получится функция от одной переменной : .

Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности – пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестноститочки , необходимо выполняться неравенство: , так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что .

Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Это интересно:

Развитие образной речи на основе произведений
В старшей группе у детей продолжают развивать интерес и любовь к художественной литературе. Значительно услож­няются задачи, которые педагог должен решать, знакомя ребенка шестого года жизни с произведениями различных жанров. У детей воспитывают способность замечать некоторые выразительные средства ...

Общая характеристика системы развивающего обучения по Л.В. Занкову
Занков Леонид Владимирович (1901-1977) - педагог и психолог, академик АПН СССР, последователь школы Л. С. Выготского, выдвинул и экспериментально подтвердил свою модель развивающего обучения. Система Л.В. Занкова появилась и получила распространение в 50-е годы ХХ в. По мнению ученого, школа не рас ...

Итоги мониторинга ВУЗов и их филиалов по России
В целях реализации абзаца четвертого подпункта «а» пункта 1 Указа Президента Российской Федерации от 7 мая 2012 г. №599 «О мерах по реализации государственной политики в области образования и науки», пункта 3 поручения Председателя Правительства Российской Федерации от 17 мая 2012 г. №ДМ-П8-2804 Ми ...