Необходимое условие экстремума функции трех переменных

По аналогии исследуем функцию трех переменных.

Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

,

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство.

Если эту окрестность взять настолько малой, что бы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство , то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные: , то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим, что , сохраняя переменным; тогда получится функция от одной переменной : .

Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности – пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестноститочки , необходимо выполняться неравенство: , так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что .

Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Это интересно:

Воспитание учащихся в процессе изучения темы: нравственное, трудовое, эстетическое
Ведущим условием воспитательной эффективности детского труда является его содержательность, личностная и общественно полезная значимость, современная техническая и технологическая оснащенность, четкая организация, высокая производительность. Многократно подтвержденный в передовой педагогической пра ...

Духовные смыслы подтекстов гоголевской поэмы
В произведениях литературы XIX в. образы рассказчика и автора разделялись. Автор находился в стороне. Повествование полностью принадлежало рассказчику, автор лишь был наблюдателем происходящего. Таковы произведения А.С.Пушкина («Повести Белкина»), М.Ю.Лермонтова («Герой нашего времени»). По какому ...

О системном мышлении у подростков
Автору дипломной работы не удалось найти специальной литературы, посвященной особенностям складывания системного мышления у подростков. Поэтому мы перечислим некоторые утверждения о подростковом возрасте и мышлении в этом возрасте, которые для нас являются существенными и от которых мы будем отталк ...