Необходимое условие экстремума функции трех переменных

По аналогии исследуем функцию трех переменных.

Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

,

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство.

Если эту окрестность взять настолько малой, что бы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство , то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные: , то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим, что , сохраняя переменным; тогда получится функция от одной переменной : .

Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности – пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестноститочки , необходимо выполняться неравенство: , так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что .

Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Это интересно:

Общая характеристика средств обучения истории, их классификация
Под учебными комплексами обычно понимают учебно-методическую литературу, наглядные и иные средства обучения по каждому курсу истории. К ним относятся: учебные пособия (учебные пособия, хрестоматии, книги для чтения); методическая литература (методические пособия, книги, статьи, рекомендации, сборни ...

Основные направления логопедической работы с больными экспериментальной группы
Из экспериментальной группы были выделены 4 пациента с различными видами нарушений речи после перенесенного ОНМК для определения и проведения логопедической работы, это: Пациент C.В.И. 10.04.1925г. Логопедическое заключение: Афферентная моторная афазия. 2. Пациент М.В.Г. 19.09.57г Логопедическое за ...

Значение детского коллектива в воспитании нравственности дошкольника
Коллектив – группа людей, взаимно влияющих друг на дру­га и связанных между собой общностью социально обусловленных целей, интересов, потребностей, норм и правил поведения, совме­стно выполняемой деятельностью, общностью средств деятель­ности, единством воли, выражаемой руководством коллектива, в с ...