Необходимое условие экстремума функции трех переменных

По аналогии исследуем функцию трех переменных.

Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

,

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство.

Если эту окрестность взять настолько малой, что бы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство , то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные: , то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим, что , сохраняя переменным; тогда получится функция от одной переменной : .

Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности – пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестноститочки , необходимо выполняться неравенство: , так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что .

Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Это интересно:

Изучение особенностей фонематического восприятия у старших дошкольников с задержкой психического развития
Исследование восприятия устной речи: 1.Исследование состояния звукопроизношения. Осуществлялось общепринятыми в логопедической практике методами. Оценка состояния звукопроизношения: -Правильное произношение всех звуков - 4 балла -Нарушение произношения 1 группы звуков - 3 балла -Нарушение произноше ...

Подготовка мероприятия, его цели
Таким образом можно сформулировать выбранную тему для профилактической беседы среди старших школьников: Знакомство с методами отказа от курения. Молодых курильщиков надо ознакомить с методами отказа от курения, которые они могли бы применять самостоятельно. Эти приёмы могут быть изложены в беседе в ...

Воспитание в обеспеченных семьях
Говорить о специфике воспитания в обеспеченных семьях довольно сложно, так как эта тема практически не освещена в литературе, к тому же доля таких семей в современной России очень не значительна. В такой семье имеются средства для организации эффективного воспитания: комфортная среда для ребенка, в ...