Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Познавательная активность
Обществу особо необходимы люди, имеющие высокий общеобразовательный и профессиональный уровень подготовки, способные к решению сложных социальных, экономических, политических, научно-технических вопросов. Познавательная активность является социально значимым качеством личности и формируется в деяте ...

Влияние оценочной деятельности на формирование учебно-познавательной мотивации
Возможность целенаправленного формирования и развития мотивов человека остаётся мало изученным вопросом в отечественной и зарубежной психологии. Важность этой проблемы обусловлена взаимосвязью вопроса о развитии мотивов и потребностей с вопросом о развитии личности в целом. Тип личности, мотив и мо ...

Особенности связной речи монологического типа детей старшего дошкольного возраста
Традиционно в работе по развитию связной речи в дошкольных учреждениях используются следующие приемы: речевой образец, вопросы, объяснения, мотивированная оценка действий и ответов детей, игры-инсценировки и т.д. Поиски методики изучения связной речи определялись особенностями последней. Характер с ...