Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Обучение коммуникативному чтению на среднем этапе
Существуют множество аспектов изучения иностранного языка такие как: грамматика, разговорная практика, аудирование, письмо и чтение, а так же приемов его обучения. Изучение иностранных языков содействует общему речевому развитию учащихся. Чтение выступает одним из главных видов речевой деятельности ...

Освоении слоговой структуры многосложных слов. Причины и закономерности слоговой элизии
Л.Б. Есечко показывает, что нарушения слогового состава слова проявляются прежде всего в неправильном воспроизведении слоговой структуры слова - в неумении передать нужное количество слогов. Наблюдаются и более сложные искажения, совмещающие неправильное воспроизведение структуры слова с ошибками в ...

Функциональная пропедевтика на уроках математики в VI классе
В 6 классе функциональная пропедевтика расширяется. По математике, рассматривая прямую и обратную пропорциональность, дают табличные записи этой функциональной зависимости, формулы у=кх, у=к/х;на уроках математики вводят буквенные обозначения, где под буквой подразумевается любое допустимое значени ...