Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...
Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...
Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...
Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).
Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.
Рис. 1.
Необходимое условие экстремума функции двух переменных
Теорема
Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.
.
Доказательство
1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.
2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.
3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .
4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .
5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.
Это интересно: