Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Профессиональное самовоспитание педагога как условие роста профессионального самосознания
Профессиональное самосознание характеризует определенный уровень самоопределения личности. Личность, самоопределившаяся в профессиональном плане, - индивид, осознающий свои жизненные цели, планы, связанные с самореализацией в профессиональной сфере, профессиональные намерения (что он хочет), свои л ...

Особенности развития детей 3-4 лет
Свои особенности есть и у детей четвертого года жизни. Показателями физического развития детей являются рост, вес, окружность грудной клетки, состояние костной и мышечной систем, внутренних органов, а также уровень развития моторики. Быстрота роста на четвертом году жизни несколько замедляется отно ...

Модель воспитательной работы в школе
В логике реализации описанных выше, культурно-антропологических и социально-территориальных ценностей необходимо разворачивать систему воспитательной работы на уровне школ и в целом на уровне города. Педагогическим основанием воспитательной работы является понимание того, через какие действия, собы ...