Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Процедура создания аттестационной комиссии. Содержание деятельности аттестационной комиссии
Задачами аттестационной комиссии являются обобщение итогов деятельности педагогических и руководящих работников дошкольного учреждения, обеспечение объективности экспертных оценок, соблюдение основных принципов аттестации. Аттестационная комиссия дошкольного учреждения избирается на собрании педаго ...

Обдумывание заголовка
Беря в руки любой текст, читатель должен ставить перед собой задачу выделить главное, т. е. понять, ради чего написан этот текст. Заголовок – это «входная дверь» текста. Мысленная обработка заголовка – первый шаг к уяснению идеи автора. Заголовок настраивает на последующий диалог с текстом, в ходе ...

Особенности использования игр в 1 классе
Для младшего школьного возраста учение – новое и непривычное дело. Поэтому при знакомстве со школьной жизнью игра способствует снятию барьера между “внешним миром знания” и психикой ребёнка. Игровое действие позволяет осваивать то, что заранее вызывает у младшего школьника страх неизвестности, пост ...