Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Психокоррекционные разработки для устранения ошибок
По результатам исследования были проведены родительские собрания на тему «Правила общения с ребёнком». Изложенные далее правила были зачитаны и обсуждены на этих собраниях. Можно выражать свое недовольство отдельными действиями ребенка, но не ребенком в целом. Можно осуждать действия ребенка, но не ...

Направления и содержание деятельности методической службы
Направления и содержание деятельности методической службы охватывает тот круг проблем, которые связаны со спецификой педагогической работы с детьми в сфере дополнительного образования. Основные направления деятельности методической службы учреждения дополнительного образования детей продиктованы со ...

Требования к созданию предметно-развивающей среды в разновозрастных группах
Согласно «Базового компонента» правильная организация жизни и разнообразной деятельности детей в ДУУ, создание благоприятных условий способствует разностороннему развитию детей разного возраста. В вязи с этим в «Базовом компоненте» обращается особое внимание на создание развивающей среды в ДУУ и в ...