Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Примеры проведения театрализованных представлений и упражнений и выводы с точки зрения воспитателя
Хорошим примером для того как использовать театральный опыт для развития личностных качеств и коррекции агрессии детей может послужить курс «Творчество» в московской школе №666 под руководством Ю. Колчеева. Курс «Творчество» нацелен не на то, чтобы научить детей приемам и методам театрального искус ...

Формирование представлений дошкольников о здоровом образе жизни как психолого-педагогическая проблема
Актуальность проблемы здорового образа жизни вызвана возрастанием и изменением характера нагрузок на организм человека в связи с усложнением общественной жизни, увеличением рисков техногенного, экологического, психологического, политического и военного характера, провоцирующих негативные сдвиги в с ...

Знакомство старших дошкольников с иностранным языком в процессе общения со взрослыми посредством игровой деятельности
В двуязычных семьях ребенок вынужден осваивать языки, чтобы общаться, в обычной семье он такой необходимости конечно не чувствует. Некоторые утверждают, что "единственный способ" вырастить двуязычных детей - это выполнение какого-то определенного правила, например, обязательно говорить до ...