Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Проведение уроков-экскурсий по математике для развития познавательного интереса младших школьников на формирующем этапе
Цель формирующего этапа эксперимента – повысить уровень интереса к математике через проведение уроков-экскурсий для развития познавательного интереса младших школьников. На формирующем этапе эксперимента участвовали учащиеся 4 класса. На первых этапах изучения математики в начальной школе особенно ...

Основа бизнес – плана
Финансово – экономическая деятельность образовательного учреждения (ОУ) должна планироваться в соответствии с потребностями рынка. Для этого важно составить бизнес - план, который позволит: определить конкретные направления предпринимательской деятельности; оценить конкурентоспособность товаров, ко ...

Служба культурного досуга
Эта служба была создана 1992 году, в ней работали от 3 до 5 человек (социальные педагоги). Основное назначение службы - задействовать как детей, так и взрослых в различные совместные виды деятельности культурно-досуговой направленности . Формы организации той деятельности разнообразны: различные ва ...