Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Методические средства и приемы преподавания психологии, приемлемые для младшего школьного возраста
В практической работе педагога-психолога с учащимися младшего школьного возраста чрезвычайно важно учитывать, что критерии самооценок в этот период еще очень не самостоятельны: школьники остро хотят знать, что о них думают окружающие – и сверстники, и взрослые. Как правило, прослеживается следующая ...

Эффективность использования проекта по инновационному преподаванию дисциплины "Иностранный язык" для развития самостоятельности будущих экономистов
В исследовании использовались методики Т.Д. Дубовицкой (установление активности личности обучающихся), П.И. Третьякова, И.Б. Сенновского (выявление уровня самостоятельности студентов). Нами был составлен опросник из 10 вопросов, определяющих степень осознания значимости самостоятельной учебной деят ...

Основные типы и виды упражнений как эффективный прием для формирования грамматических навыков
Основным фактором, обусловливающим успех обучения речевой деятельности, являются упражнения, ибо в упражнениях, моделирующих деятельность, формируются, развиваются и совершенствуются речевые навыки и умения. Целесообразно выделить три типа упражнений для обучения учащихся речевой деятельности: 1) я ...