Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Особенности развития фонетико-фонематической стороны речи у детей дошкольного возраста со стертой дизартрией
Анализ литературных данных по проблеме изучения фонетико–фонематической стороны речи у дошкольников со стертой дизартрией показал, что недостатки произношения являются показателем незаконченности процесса фонемообразования. При этом дети не только дефектно произносят звуки, но и недостаточно их раз ...

Использование информационно-комуникативных технологий в учебно-воспитательном процессе в ДОУ
В настоящее время тема «Использование информационно-коммуникативных технологий в учебно-воспитательном процессе ДОУ» актуальна и на данный момент недостаточна изучена. С развитием современной информационной технологии, система «ребенок и компьютер» быстро превращается в проблему, которая касается в ...

Обучение коммуникативному чтению на среднем этапе
Существуют множество аспектов изучения иностранного языка такие как: грамматика, разговорная практика, аудирование, письмо и чтение, а так же приемов его обучения. Изучение иностранных языков содействует общему речевому развитию учащихся. Чтение выступает одним из главных видов речевой деятельности ...