Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Методика преподавания слов категории состояния
В 7 классе учащиеся знакомятся с категорией состояния как частью речи. Семиклассники еще не изучали односоставных предложений, и поэтому на данном этапе обучения невозможно в полном объеме дать представление об этой группе слов и свойственных им синтаксических функциях (безличные предл.). На изучен ...

Содержание коррекционной помощи по коррекции моторики речи детей с нарушением интеллекта младшего школьного возраста
Формирующий эксперимент проходил с сентября 2010 по январь 2011 года. Достижение эффективности в коррекционно-развивающей работе возможно за счёт взаимодействия всех участников педагогического процесса и, в частности, педагога и логопеда. Деятельность педагогов имеет много общего и направлена на ре ...

Использование АСТ-тестирования в качестве контроля сформированности грамматических навыков студентов 2 курса колледжа
Теоретические положения, изложенные в предыдущих главах данной работы, были проверены на практике на уроках английского языка в педагогическом колледже. Целью опытного обучения являлась апробация разработанного теста на основе программы АСТ-тест в процессе контроля сформированности грамматических н ...