Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Формирование уважения к семье и сверстникам у детей с нарушением интеллекта
Нравственное становление личности младших школьников с нарушением интеллекта во многом определяется правильно организованным общением как детей между собой, так и с родителями. Имея нарушение интеллекта, ребенок не может справиться с общеобразовательной программой, что создает конфликтную ситуацию ...

Психокоррекционные разработки для устранения ошибок
По результатам исследования были проведены родительские собрания на тему «Правила общения с ребёнком». Изложенные далее правила были зачитаны и обсуждены на этих собраниях. Можно выражать свое недовольство отдельными действиями ребенка, но не ребенком в целом. Можно осуждать действия ребенка, но не ...

Особенности детей младшего школьного возраста с задержкой психического развития
Важность проблемы исследования детей с задержкой психического развития определяется ее теоретическим и практическим значением. Изучение детей с ЗПР подчиняется общим законам научного анализа структуры личности, но не исключает специфического подхода в рассмотрении особенностей формирования и развит ...