Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Рис. 1.

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если – точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Это интересно:

Теоретические основы обучения глухих детей языку
Вторая половина ХХ века стала эпохой становления коммуникативной системы обучения глухих детей. На разработку её и внедрение были направлены крупные научные силы и поиски педагогов-энтузиастов. Основоположником этой системы был профессор С.А. Зыков. Объединив усилия нескольких групп учёных и педаго ...

Экологические проблемы производства полимеров и утилизации пластмассовых отходов
Производство полиэтилена, полипропилена, поливинилхлорида приносит немалые экологические проблемы для окружающей природной среды. Это использование различных токсичных мономеров и катализаторов, образование сточных вод и газовых выбросов, обезвреживание которых сопряжено с большими энергетическими, ...

Психолого-педагогическое обоснование выбора темы
«Профилактика курения» - тема достаточно актуальная, не только в школах среди подростков, но и во всем мире. Основы пропаганды здорового образа жизни должны закладываться с юношеского возраста, а именно в стенах школы. Никотин в форме сигарет – наиболее распространённое (наряду с алкоголем) психоак ...