Учебная мотивация студента

Образование обогащает культуру, способствует взаимопониманию...

Экологическая культура

Сегодня как никогда перед человечеством стоит вопрос о необходимости...

Мониторинг ВУЗов

Мониторинг высших учебных заведений и его филиалов волнует всех жителей страны...

Необходимое условие экстремума функции многих переменных

Педагогика и воспитание » Разработка методики обучения теме экстремумов » Необходимое условие экстремума функции многих переменных

Страница 1

Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью, что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство:

.

Если эту окрестность взять настолько малой, чтобы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство: ,

то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что исследуемая функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные:

,

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим , сохраняя переменным; тогда получится функция от одной переменной :

.

Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности – пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности точки , необходимо выполняться неравенство:

,

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

.

Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:

. (1)

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечания:Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так:

.

Обычно, рассматриваемая функция имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстремумы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» на экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция не дифференцируема (им соответствуют, например, острия поверхности – графика функции).

Страницы: 1 2

Это интересно:

Авторская разработка урока по информатике «Системы счисления»
Первое занятие из 7-х учебных часов. Цели урока: Дидактическая – приобретение новых знаний по теме «Системы счисления», формирование специальных умений и навыков по данной теме. Развивающая – учить выделять главное; развивать мышление учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого м ...

Основные приемы коррекции представлений умственно отсталых детей об окружающем мире
Одним из важнейших направлений коррекционно-развивающей работы психолога является формирование представлений об окружающем мире. Их недостатки у детей с нарушениями интеллектуального развития общеизвестны. Улучшение качества таких представлений -- одна из предпосылок успешной социализации. При этом ...

Методические рекомендации
I. Определение величины нагрузки. По дыханию: В первые четыре года обучения, при выполнении упражнений, допустима такая нагрузка при которой присутствует одышка, но ребенок способен дышать в ритме четыре шага вдох и четыре шага выдох. В среднем звене предельная по дыханию нагрузка-ритм четыре-четыр ...

КАТЕГОРИИ

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.dealeducation.ru