Необходимое условие экстремума функции многих переменных

Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью, что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство:

.

Если эту окрестность взять настолько малой, чтобы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство: ,

то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что исследуемая функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные:

,

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим , сохраняя переменным; тогда получится функция от одной переменной :

.

Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности – пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности точки , необходимо выполняться неравенство:

,

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

.

Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:

. (1)

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечания:Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так:

.

Обычно, рассматриваемая функция имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстремумы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» на экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция не дифференцируема (им соответствуют, например, острия поверхности – графика функции).

Это интересно:

Перспективы использования аутентичных фильмов в процессе изучения английского языка
Внедрение видеоматериалов в обучение потребовало теоретического переосмысления их роли и места в процессе обучения. Под видеоматериалами (видеозаписями) мы понимаем любую телепродукцию (новости, интервью, ток-шоу, рекламные блоки и т.д.), а также художественные, документальные, мультипликационные ф ...

Анализ формирования понятий темы «Аппаратное обеспечение компьютера» в различных школьных учебниках по информатике
Информатика как наука имеет свой лексикон, который еще не устоялся и находится в развитии. Совокупность понятий некоторой области знания составляет лексикон данной области знания. Рассмотрим раскрытие понятий в различных учебниках по информатике для основной школы (5-9 классов), смысла текстов, исп ...

Работа по развитию речи учащихся на материале пословиц и поговорок на уроках литературного чтения в начальной школе
Анализ учебников для чтения был направлен на решение следующих задач: - выяснить, какое место занимают пословицы и поговорки в содержании учебного материала (количественный анализ); - определить тематику пословиц (качественный анализ); - определить типы заданий к данным жанрам фольклора, представле ...