Понятие «функциональная зависимость» в психолого-педагогической литературе

Как видно из этих определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг., работах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем “Курсе алгебраического анализа”, опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

В 1834 г. в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: “Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной . Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе”.

Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: “у есть функция переменной х (на отрезке a £ х £ b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами”.

Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f (х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В - значениями функции; во втором случае х - прообразы, у - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и не заполняют отрезка a £ x £ b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n , заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.

Это интересно:

Урегулирование педагогических конфликтов
Педагогический процесс невозможен без различного рода конфликтов. Более того, в определенном случае конфликт является необходимым условием для решения назревших проблем. В управлении конфликтом важную роль играет эффективное использование принципов социальной регуляции, умелое применение ее приемов ...

Упражнения для развития подвижности губ
1. Покусывание и почесывание сначала верхней, а потом нижней губы зубами. 2. Улыбка - Трубочка. Вытянуть вперед губы трубочкой, затем растянуть губы в улыбку. 3. Пятачок. Вытянутые трубочкой губы двигать вправо-влево, вращать по кругу. 4. Рыбки разговаривают. Хлопать губами друг о друга (произносит ...

Характеристика и своеобразие мотивационно– познавательного развития в дошкольном возрасте
Стремление к познанию, к овладению навыками и умениями у детей раннего и дошкольного возраста почти неисчерпаемо. Детские «почему» и «что такое» были предметом многократных исследований, в результате которых всегда приходилось констатировать огромную силу и напряженность познавательной активности р ...